Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

1)	4)
2)	5)
3)

Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференцируемой функции

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения  существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что онадифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если  , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда

Δy=f '(x₀) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x₀)→0 при x→x₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Р ассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx→0 отношение  не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точкеA графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к₁ и к₂. Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δx→0 отношение  является знакопостоянной бесконечно большой величиной  . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

П римеры.

1. Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к.  .

Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

f(0+Δx) = f(Δx) = |Δx|. Следовательно, Δy = f(Δx) – f(0) = |Δx|

Но тогда при Δx< 0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева) 

А при Δx > 0

Т.о., отношение  при Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

2. Функция   определена и н епрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x= 0.

Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.

19)

20)  Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆_хz. Итак,

Δ_хz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:Δ_уz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

 Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М₀(х₀;у₀) обычно обозначают символами 

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + е^{х2-у +1}. Решение:

Частные производные высших порядков

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так,  и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

21)  

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пусть  

Найти у'_х.

Решение: Имеем   x'_t=3t²,   y'_t=2t.   Следовательно,   у'_х=2t/t²,   т. е. 

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно,    Тогда    Отсюда  т. е.

22) Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у² у'-3(1 у+х у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

23) Формула Тейлора — Пеано Пусть  , z₀ — предельная точка множества D_f и  . Если функция f n-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке z₀, то справедлива формула Тейлора — Пеано

где ε_n(z) - непрерывная в точке z₀ функция и ε_n(z₀)=0. Применим метод математической индукции. Если n=0, то утверждение очевидно при ε_n (z)=f(z)-f(z₀). Предположим, что утверждениетеоремы справедливо после замены n на n-1 и что функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀. Согласно определению, существует такая n-1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀ функция φ, что ∀z∈D_f,

f(z) − f(z₀) = (z − z₀)φ(z)(2)

По предположению

где ε_{n − 1}(z) - непрерывная в точке z₀ функция и ε_{n − 1}(z₀) = 0. Из равенств (2) и (3) получаем:

Что равносильно формуле (1) при ε_n = ε_{n – 1}

 Формула Тейлора 

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

 Остаточный член формулы Тейлора 

В форме Лагранжа:

     В форме Коши:

     В форме Пеано:

 при 

 В интегральной форме:

МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА

- частный случай Тейлора формулы. Пусть функция f(x)имеет ппроизводных в точке x=0. Тогда в нек-рой окрестности Uэтой точки функцию f(x).можно представить в виде 

где r _п (х) - остаточный член n-го порядка, представимый в том или ином виде.