Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

М омент количества движения материальной точки относительно центра равен произведению модуля количества движения точки на плечо, т.е. кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра до линии, совпадающей с вектором скорости

, (57)

. (58)

Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.

Теорема: Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

. (59)

При решении задач уравнение (59) необходимо спроектировать на оси координат

. (60)

В уравнениях (60) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.

Из (59) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).

Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.

Если , то .

Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Данная теорема устанавливает количественную взаимосвязь между работой силы (причиной) и кинетической энергией материальной точки (следствием).

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости

. (61)

Кинетическая энергия характеризует то механическое действие силы, которое может превратиться в другие виды энергии, например, в тепловую.

Работой силы на данном перемещении называется характеристика того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости.

Элементарная работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы на элементарный вектор перемещения в точке ее приложения

, (62)

где - элементарное перемещение.

Модуль элементарной работы определяется формулой

, (63)

где  - угол между вектором силы и вектором элементарного перемещения; - проекция вектора силы на касательную.

Полная работа на некотором конечном перемещении определяется интегралом

. (64)

Из (64) следует, что полная работа может быть вычислена в двух случаях, когда сила постоянная или зависит то перемещения.

При F=const получаем .

При решении задач часто удобно пользоваться аналитическим способом вычисления силы

,

где F_x, F_y, F_z – проекции силы на координатные оси.

Теорема: Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

. (65)

Теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и искомых параметров присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и перемещение.