Т еорема Гюйгенса: Момент инерции тела относительно любой оси, параллельной центральной оси, равен сумме центрального момента инерции и произведения массы системы на квадрат расстояния между осями

. (77)

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Для каждой материальной точки, входящей в данную систему, на основе второго закона Ньютона можно записать следующие ОУД

(78)

где  равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-точке;

 равнодействующая всех внутренних сил приложенных к k-точке.

В общем случае для инженерных задач система дифференциальных уравнений (78) является нелинейной и ее аналитическое решение практически невозможно. Исследование таких систем выполняется численными методами с помощью ЭВМ.

Общие теоремы динамики механической системы

Разработаны некоторые общие приемы изучения движения механической системы, которые позволяют получить важные характеристики движения без интегрирования (78).

Теорема о движении центра масс механической системы

Теорема: Центр масс механической системы движется как материальная точка, наделенная массой всей системы, в предположении, что все внешние силы приложены в центре масс системы.

. (79)

При решении задач необходимо спроектировать (79) на координатные оси

. (80)

Из рассмотрения уравнений (79) и (80) вытекает закон сохранения движения центра масс системы: Если сумма всех внешних сил системы равняется нулю, то центр масс ее движется с постоянной по величине и направлению скоростью или покоится

. (81)

Другими словами, скорость центра масс нельзя изменить действием внутренних сил системы.

Частным случаем выполнения закона (81) является равенство нулю суммы проекций сил на одну из координатных осей, в этом случае центр масс вдоль этой оси не перемещается или движется с постоянной скоростью.

Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения системы называют геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек системы

. (82)

Для выяснения физического смысла (82) вычислим производную от (72)

. (83)

Решая совместно (82) и (83), получим

. (84)

Таким образом, вектор количества движения механической системы определяется произведением массы системы на скорость ее центра масс.

Теорема: Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил системы.

. (85)

При решении задач уравнение (85) необходимо спроектировать на координатные оси:

. (86)

Из анализа (85) и (86) вытекает следующий закон сохранения количества движения системы: Если сумма всех сил системы равна нулю, то вектор количества движения ее сохраняет свою величину и направление.

Если , то , Q=const. (87)

В частном случае этот закон может выполнять вдоль одной из координатных осей.

Если , то, Q_z=const. (88)

Теорему об изменении количества движения целесообразно использовать в тех случаях, когда в систему входят жидкие и газообразные тела.