Теорема об изменении кинетического момента механической системы
Количество движения характеризует только поступательную составляющую движения. Для характеристики вращательного движения тела введено понятие главного момента количеств движения системы относительно заданного центра (кинетического момента).
Кинетическим моментом системы относительно данного центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех его точек относительно того же центра
.
(89)
Кинетический момент тела относительно осей равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела
.
(90)
Из (90) следует, что кинетический момент характеризует только вращательную составляющую движения.
Характеристикой вращательного действия силы является ее момент относительно оси вращения.
Теорема об изменении кинетического момента устанавливает взаимосвязь между характеристикой вращательного движения и силой, вызывающей это движение.
Теорема: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра
.
(91)
При решении инженерных задач (91) необходимо спроектировать на координатные оси
.
(92)
Их анализа (91) и (92) вытекает закон сохранения кинетического момента: Если сумма моментов всех внешних сил относительно центра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра ( или оси) сохраняет свою величину и направление.
,или
Кинетический момент нельзя изменить действием внутренних сил системы, но за счет этих сил можно изменить момент инерции, а следовательно угловую скорость.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Кинетической энергией механической системы называется арифметическая сумма кинетических энергий всех ее материальных точек
.
(93)
Вычисление кинетической энергии твердого тела
1. Поступательное движение
Как известно, при поступательном движении скорости всех точек тела в один и тот же момент времени равны, тогда (93) можно представить в виде
.
(94)
При поступательном движении тела, его кинетическая энергия равна половине произведения массы на квадрат скорости центра масс.
2. Вращательное движение твердого тела
П
ри
вращательном движении скорость каждой
точки тела
.
(95)
Подставим (95) в (93):
.
Принимая во внимание (75), получим
.
(96)
При вращательном движении кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.
3. Плоское движение
Плоское движение можно представить как вращение относительно полюса (например, центра масс) и движения вместе с полюсом, тогда
.
(97)
Кинетическая энергия тела при плоском движении равна сумме кинетических энергий от поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения относительно центра масс.
Теорема: Изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внутренних и внешних сил системы на том же перемещении
.
(98)
Замечания:
1. Введенная величина кинетической энергии системы в отличие от количества движения системы и кинетического момента является скалярной величиной. При этом:
Q=0 при вращательном движении и покое;
KO=0 при поступательном движении или покое;
T=0 только для неподвижной системы.
Таким образом, в отличие от теоремы об изменении количества движения и кинетического момента, данная теорема пригодна для изучения любого вида движения, так как T=0 только для неподвижной системы.
2. В отличие от упомянутых теорем данная теорема учитывает действие внутренних сил системы.