53. Вычеты
Если ф-ция
аналитическая в какой-то конкр.
окрестности z=a,
она может быть разложена в ряд Лорана:
Особую
роль среди коэф-тов играет коэф-т С-1.
Он наз. вычетом ф-ции f(z)
в точке z=a.
.
,
где контур
замкнутый контур, окружающий точку
z=a
и положительно ориентированный. В
качестве
можно взят окр. С центром в точке а
достаточно малого радиуса (чтобы контур
не содержал внутри других особых точек).
.
Вычисление вычетов в полюсе.
Пуст точка z=a
явл. полюсом 1-ого порядка. В этом случае
разложение в ряд Лорана
.
Домножим f(z)
на z-a
.
Переходя к пределу при
,
получим, что
.
.
Умножим выражение на (z-a)k
.
Продифференцировать к-1 раз это выражение
и переходя к пределу при
,
получим:
.
54. Основн теор вычет
Пусть ф-ция f(z) аналитична в некоторой области за исключением крнечного числа особых точек, то согласно теореме (интегр.) Коши для многосвязной области:
.
С другой стороны, если интеграл расписать
как
55. Вычисл вычет интегр
Если R(sinx,cosx)
– рациональная функция от sinx,cosx,
непрерывная при
(или
),
то, сделав подстановку
,
можно показать, что
Значение интеграла в правой части этого выражения равно сумме вычетов подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих внутри окружности |z|=1, умноженной на 2πi.
2.
Если f(z)
– дробно-рациональная функция,
аналитическая на действительной оси
и в верхней полуплоскости(Imz>0),
за исключением конечного числа особых
точек z1…zn,
лежащих в верхней полуплоскости (т.е.
),
и если
при
,
то
.
3.Если
f(z)
-- дробно-рациональная функция,
аналитическая на действительной оси
и в верхней полуплоскости, за исключением
конечного числа особых точек z1…zn,
лежащих в верхней полуплоскости , и
если
при
,
то для любого
;
.
56. Св-ва оригиналов и изобр
Оригинал
- ф-ция f(t)
удовлетворяющая условиям: 1)f(t)=0
при t<0;
2)сущ. M>0и
такие, что |f(t)|<=
,где
-показатель
роста f(t);
3)f(t)-непрерывная
или кусочно-непрерывная.
Изображение-
ф-ция
,
где
(компл.
число). При t>0
интеграл сходится к полуплоскости, где
.
=L[f(t)]
Если f(t)-оригинал,F(p)-изображение
или
Свойства изображения:
-линейность
c-const
57. Теор подобия смещен опереж
Если
f(t)-оригинал,
а его изображение F(p)
,
то для любого α
.
Док-во:
αt=z
ч.т.д
теор смещения
Если
f(t)-оригинал,
а его изображение F(p)
,
то для любого
.
Док-во:
ч.т.д
2)Метод Даламбера для решения уравнений в частных производных.
U(x,0)=φ(x);
U(0,t)=0; U(l,t)=0
Пусть
решение имеет вид
.
Оно удовлетворяет краевым условиям.
теор запазд
Если
f(t)-оригинал,
и
то
←
Доказательство:
F(p)=
=│t-τ=z t=z+τ dt=dz│=
=
=
=
,
ч.т.д.
58. Ди и инт изобр
Т.
Если
и
предел
и
–
ориг., то изображ. оригинала
.
Док-во:
Если
f(t)
F(p),
то
Док-во:
(по определению).
Продифференцируем обе части:
