35 Комп форма инт фурье

В действ. форме:

Возьмем:

При l = :

+ = = | По формулам Эйлера => | = = — Интеграл Фурье в комплексной форме; или:

= = | введем новую переменную: с(α) = | = = — также интеграл Фурье в комплексной форме

36. Опред фкп

E, k — множества значений w = f(z)

z, w — их переменные

Если переменной z из множества E становится в соответствие значение w из множества k (одно или несколько), то w называется функцией от z.

Если одному значению z становится в соответствие одно значение w — функция однозначна, если несколько — многозначна.

Если переменная z задается в обл. D, а w в области g, то D — область определения, а g — область значений функции w.

37. Предел и непрерывн фкп

W=f(z) – однозначна и определена во всех точках (за исключением z=z_o).

Предел функции W в точке z_o – такое число А, что, задав любое ε>0, можно указать такое δ>0, для всех значений z, | z-z_o | < δ, выполняется неравенство | f(z)-A | < ε

lim W= lim f(z)=A, где А=В+iС.

z→z_o z→z_o

Теорема. Если существует limf(z), и он равен А, где А=В+iС, то существует

z→z_o

limU(x,y), и он равен В, и существует limυ(x,y)=С.

x→x_o x→x_o

y→y_o y→y_o

Определение. Предел функции W=f(z) при z→∞, называется число А, что, задав любое >0, можно указать такое N>0, что для всех | z | > N выполняется неравенство | f(z)-A | < ε

lim f(z)=A (предел бесконечной точки).

z→∞

Непрерывность ФКП.

Функция W=f(z) определена в некоторой замкнутой области Д и z_оєД.

Определение. Функция W=f(z) называется непрерывной в точке z_о, если предел

lim f(z)= f(z_о)≠0.

z→z_o

Функция называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в любой точке этой области.

limU(x,y)= U(x_о,y_о) и limυ(x,y)= υ(x_о,y_о)

x→x_o x→x_o

y→y_o y→y_o

Если f(z) непрерывна в точке z_o, то и функция U(x,y) и υ(x,y) непрерывны в точке (x_о,y_о).

Определение. Функция f(z) называется непрерывной в бесконечно удалённой точке z=∞, если предел f(z) при z→∞ равен W_o (конечному числу) и это число может выходить за область значений функции.

42. Общая степен

Степенной ряд-ряд вида (1)

(1): ,где С- постоянные комплексные числа.

Если a=0 то (2): ,подстановкой z-a=t можно перейти от (1) к (2).

Т.Абеля: Если ряд (2) сходится абсолютно при z=z₀, то он сходится абсолютно и при всех |z|<|z₀|. Если ряд (2) расходится при , то он расходится и при всех z .

Радиус сходимости:

|z-a|=R-круг включая границы

|z-a|<R-круг без границы

Область сходимости степенного ряда - круг. На границе исследовать дополнительно.