- •1. Числ ряды
- •2.Действия над рядами Св-ва
- •3. Необх признак сх
- •6. Ряды с неотр Признаки сравнения
- •7. Признак Даламбера.
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •9. Интегральный признак Коши.
- •10.Знакпер ряд абс и услвн сх
- •12. Знакчеред ряды Лейбниц
- •14. Функ ряды область сх
- •15. Равн сх фр Вейерштрассе
- •17. Степ ряд Абель
- •25. Решение ду
- •27 Тригон ряд фурье
- •32. Разлож непериод функ
- •33. Тригоно ряд фурье в комп форме
- •34. Интеграл фурье
- •35 Комп форма инт фурье
- •36. Опред фкп
- •37. Предел и непрерывн фкп
- •42. Общая степен
- •43. Условие коши-риманна
- •47. Основн теор коши
- •48. Интегр формула коши
- •49. Фкп в комп области степ ряд
- •50. Ряд тейлора в фкп
- •51. Ряд лорана фкп
- •52. Особые точки
- •53. Вычеты
- •54. Основн теор вычет
- •55. Вычисл вычет интегр
- •57. Теор подобия смещен опереж
- •58. Ди и инт изобр
- •59. Свертка
27 Тригон ряд фурье
Тригонометрическим рядом - называется функциональный ряд вида
т.е.
(1)
Где , , (n=1,2,…)называются коэффициентами ряда.
Будем считать, что ряд равномерно сходится. Интегрируем правую и левую части:
Отсюда:
Домножим обе части равенства (1) на и проинтегрируем обе части:
При m=n получим:
Отсюда: , n=1,2,3,…
Аналогично, умножив равенство (1) на и проинтегрировав почленно на отрезке [ ], найдём , n=1,2,3,…
28. теор дирихле. сдвиг
Если f(x) непрерывна или кусочно-непрерывна на отрезке [-π,π], то ряд Фурье этой ф-ии сходиться к ней в точках непрерывности, а в точках разрыва ф-ии его сумма выражается след. образом S(x0)=(f(x0-0)+ f(x0+0))/2 (без док-ва)
29.Разложен четн функ
1. Пусть ф-ция f(x) – четная, т. е. f(-x)=f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по косинусам
30. Разлож нечетн функ
Пусть ф-ция f(x) – нечетная, т. е. f(-x)=-f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по синусам
31. Ряд фурье для период 2л
Пусть f(х) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье.
Сделаем замену переменной по формуле: .
Тогда функция будет периодической функцией от t с периодом 2π. Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке :
где
Возвратимся теперь к старой переменной х:
Тогда будем иметь:
32. Разлож непериод функ
Пусть ф-ция f(x) непереодич., заданная на [a,b].
Вместо функции f(x) рассматривают ф-цию с периодом 2l, причем [a,b] и на [a, b] ф-ция совпадает с функцией f(x).
Поскольку функция периодическая то ее разлагают в ряд Фурье.
Рассмотрим один важный случай: пусть функция f(x) задана на интервале (0, l) . Ее надо доопределить на интервале (-l , 0). Можно доопределить четным образом. В этом случае мы получаем ряд Фурье только по косинусам.
Можно доопределить нечетным образом. Получим ряд Фурье только по синусам.
33. Тригоно ряд фурье в комп форме
; ; ; интеграл Ф. В комплексной формуле при ( ):
34. Интеграл фурье
Пусть имеем f(x), определенную на ( ) и абсолютно интегрируемую на этом интервале,т.е. (конечное число),фун-ция разлагается в ряд на (-l,l).
; ; ;
| |=
(Умножим и поделим на )=
(1)
(1)- Интеграл Фурье
Если ф-ция четная или нечетная, то частные случаи:
Распишем интеграл:
1)f(x)-четная
- cos преобразование Фурье
2)f(x)-нечетная
- обратное преобразование от cos преобразования
- sin преобразование Фурье
- обратное преобразование sin преобразование Фурье