1 Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует и он не зависит от выбора разбиения и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или . Двойной интеграл существует, если непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .

3 Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть - область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .

4 Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U₁, U₂...U_n,... Выражение U₁+U₂+...+U_n+... наз-ся числовым рядом,

U₁, U₂...U_n – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда: S_n= U₁+U₂+...+U_n.

Если сущ-ет конечный предел lim_nS_n=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел lim_nS_n равен  или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел lim_nS_n, то ряд сходится.

5 Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U₁+U₂+...+U_n+...(1), S_1n; V₁+V₂+...+V_n+...(2) S_2n; Известно,что V_nU_n при nN₀.

1. Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

2. Если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что  lim S_2n=S. S_1n=U₁+U₂+...+U_N0+U_N0+1+...+U_n=S_N0+V_N0+1+...+V_n. limS_1n=lim(S_N0+D_n-N0)=S_N0+D. S_1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом S_N0+D =>  lim S_1n=S_n1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limU_n/V_n=L, но L0, при n, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если  lim(U_n+1/U_n)=L(2) при n, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n N, будет иметь место нер-во (U_n+1/U_n)<q (2^’). Действительно, т.к. величина U_n+1/U_n стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

 U_n+1/U_n – L<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2^’) для различных значений n, начиная с номера N, получим U_N+1<qU_N,

U_N+2<qU_N+1< q²U_N

Рассмотрим теперь два ряда:

U₁+U₂+...+U_N+U_n+1+... (1)

U_N+qU_N+q²U_N+... (1^’). Ряд (1^’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с U_N+1, меньше членов ряда (1^’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(U_n+1/U_n)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для nN, будет иметь место нер-во (U_n+1/U_n)>1, или U_n+1>U_n для всех nN. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limⁿU_n=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

 ⁿU_n–L<q–L; осюда следует, что ⁿU_n<q или U_n<qⁿ для всех nN. Рассмотрим теперь два ряда: U₁+U₂+...+U_N+U_N+1+... (1) и q^N+q^N+1+q^N+2+... (1^’). Ряд (1^’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с U_N, меньше членов ряда (1^’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: ⁿU_n>1 или U_n>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с U_N, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ^_n=1U_n, где члены ряда убывают U_n>U_n+1>0. Есть фун f(x)>0, х[1;] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=U_n.

Если не собственный интеграл ^₁f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ^₁f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.