- •1. Числ ряды
- •2.Действия над рядами Св-ва
- •3. Необх признак сх
- •6. Ряды с неотр Признаки сравнения
- •7. Признак Даламбера.
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •9. Интегральный признак Коши.
- •10.Знакпер ряд абс и услвн сх
- •12. Знакчеред ряды Лейбниц
- •14. Функ ряды область сх
- •15. Равн сх фр Вейерштрассе
- •17. Степ ряд Абель
- •25. Решение ду
- •27 Тригон ряд фурье
- •32. Разлож непериод функ
- •33. Тригоно ряд фурье в комп форме
- •34. Интеграл фурье
- •35 Комп форма инт фурье
- •36. Опред фкп
- •37. Предел и непрерывн фкп
- •42. Общая степен
- •43. Условие коши-риманна
- •47. Основн теор коши
- •48. Интегр формула коши
- •49. Фкп в комп области степ ряд
- •50. Ряд тейлора в фкп
- •51. Ряд лорана фкп
- •52. Особые точки
- •53. Вычеты
- •54. Основн теор вычет
- •55. Вычисл вычет интегр
- •57. Теор подобия смещен опереж
- •58. Ди и инт изобр
- •59. Свертка
10.Знакпер ряд абс и услвн сх
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.
11. св-ва абс сх рядов
1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать).
3. Под произведением двух рядов и понимают ряд вида Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна
12. Знакчеред ряды Лейбниц
Если в знакочередующемся ряду , где положительны, члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Доказательство: Рассмотрим сумму первых членов ряда. >0, т.к. все скобки положительны. Запишем теперь эту же сумму так:
По условию 1 каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из мы получим число, меньшее . Таким образом, мы установили, что при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел S
, причем . Однако сходимость еще не доказана. Мы доказали только, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число S. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу S. Рассмотрим для этого сумму первых членов исходного ряда. . Так как по условию 2 теоремы , то следовательно Тем самым мы доказали, что как при четном n, так и при нечетном. Следовательно, исходный ряд сходится
14. Функ ряды область сх
Функ. ряд – ряд,члены которого являются функ. одного и того же аргумента.
Ф.р.:
Совокупность значений x, при которых ф.ряд сходится - область сходимости ф.ряда.
; - n-частичная сумма , - остаточный член
=lim
Если ряд сходится, то
15. Равн сх фр Вейерштрассе
П усть дан функциональный ряд и если – сходится, то функциональный ряд сходится равномерно на E.
Д оказательство:
Т.к. ряд сходится, то по критерию Коши: для
любого ε>0 существует такой номер N, что ε для всех n>N и любых целых p>=0. Поэтому для всех n>N и
. Это означает, что ряд
сходится равномерно на множестве Е
16. Св-ва равн сх почлен диф и инт
Если ряд состоящий из непрерывных функций, сходится равномерно на [а, b] к сумме S(x), то интеграл от суммы этого ряда = сумме интегралов от его членов.
, где α и х є [a, b]
Дифференцирование функциональных рядов.
Теорема Если функциональный ряд (1) сходится к сумме S(x) на [a, b], и ряд (2) , составленный из производных членов данного ряда равномерно сходится на [a, b] к сумме σ(x), то сумма ряда, составленного из производных, равна производной от суммы ряда (1), т.е. σ(x)=