- •1.Числовой ряд. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Примеры.
- •2. Признаки сравнения для рядов с положительными членами.
- •3,4. Признаки Даламбера и Коши.
- •6.Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.
- •7. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Условная сходимость. Примеры. Действия с абсолютно сходящимися рядами.
- •8. Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная, поточечная сходимость.
- •10,11.Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда.
- •12,13. Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости. Равномерная сходимость.
- •14. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора.
- •17. Ряд Фурье для функций с периодом 2l.
- •19. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
- •20. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •22. Синус и косинус преобразований Фурье.
- •23. Определение функции комплексного переменного и её геометрический смысл.
- •29. Аналитические, гармонические функции.
- •30. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •31. Интеграл от фкп.
- •32. Классификация изолированных особых точек.
- •33. Нули аналитической функции и их связь с полюсом.
- •34. Неравенство Коши, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры.
- •35. Интегральная теорема Коши
1.Числовой ряд. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Примеры.
Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.
Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится.
Если ряд сходится, то предел общего члена равен 0 (необходимое условие сходимости ряда).
Док-во: Т.к. ряд сходится, то сущ пределы и . Т.к. суммы отличаются на слагаемое an=Sn-Sn-1, то
Пример
расходится
2. Признаки сравнения для рядов с положительными членами.
1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами . Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Наоборот, из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
2. Если для таких же двух рядов ,
существует конечный отличный от 0 предел отношений общих членов данных рядов то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд , который сходится при p>1 и расходится при p≤1, или геометрический ряд , который сходится при |q|≤1 и расходится при |q|≥1.
(Т.к. это геом прогрессия, то сумма Sn при |q|≠1
3,4. Признаки Даламбера и Коши.
Признак сходимости Даламбера. Пусть члены ряда неотрицательны. Если существует
то 1) при ρ<1 ряд сходится
2) при ρ>1 расходится
3) при ρ=1 нужны доп исследования
Док-во
1) пусть ρ<1, то существует q такое что ρ<q<1
Т.к. сущ , это означает что для любого ε>0 и в частности для ε=q-ρ найдется такой номер N, что для любого n>N будет спроаведливо нер-во
В частности
С некоторого номера n>N члены данного ряда меньше членов сход геом прогрессии
Следовательно на основании 1го признака сравнения, исслед ряд сходится.
2) пусть ρ>1. Это означает, что, начиная с некоторого номера будет спроаведливо нер-во
и т.к. каждый последующий член ряда больше предыдущего, то
. Необходимый признак сходимости не выполняется => ряд расходится
Радикальный признак сходимости Коши. Пусть
члены ряда
1) при ρ<1 ряд сходится
2) при ρ>1 расходится
3) при ρ=1 нужны доп исследования
Док-во
1)пусть ρ<1. Возьмем q удовл нер-ву ρ<q<1. Т.к. , то, начиная с некоторого номера будем иметь нер-во
Это нер-во показывает, что члены данного ряда, начиная с некоторого меньше соответствующих членов сходящейся геом прогрессии На основании 1 пр-ка сходимости данный ряд сход
2) пусть ρ>1. Это означает, что, начиная с некоторого номера, будет справедливо нер-во , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно данный ряд расходится.
5.Интегральный признак Коши.
Пусть имеется ряд , члены которого монотонно не возрастают. Пусть имеется функция f(x), x в интервале [1,∞], монотонно не возрастающая и нерперывная на этом интервале, причем
Тогда для сходимости исходного ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл
Замечание: функция может быть задана на промежутке [с,∞], тогда необходимо рассматривать интеграл .
Доказательство: рассмотрим ряд (2) Из свойств f(x) можно написать:
Интегрируя это неравенство на заданном промежутке, получим
Если (2) сходится, то из правой части неравенств по 1 признаку сравнения мы получаем, что исходный ряд сходится.
Если (2) расходится, то из левой части неравенств по 1 признаку сравнения мы получаем, что исходный ряд расходится.