33. Нули аналитической функции и их связь с полюсом.

34. Неравенство Коши, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры.

35. Интегральная теорема Коши

Теорема Коши

Рассм. инт-лы от одноз-ных аналит. ф-ций. Т1. (Коши для односвязн. обл.) Пусть ф-ция f(z) аналит. в односвязн. обл. Д, тогда для люб. замкн. контура ГД, инт. .

док-во. Проведем док-во при дополн. предполож-ии, что производная f.`(z) непрер. в Д. В силу р-ва для вып-ия условия, что =0 необход. и дост., чтобы инт. и (1) . Если P(x,y) и Q(x,y) непр. действит. ф-ции в 1-связной обл. Д, имеющ. в Д непрер. частные произв-ные 1 порядка, то . Равносильны след. условию: ∂P/∂y-∂Q/∂x=0 (2). Применительно к инт. из (1)усл. (2) имеет вид ∂u/∂y=-∂v/∂x, ∂u/∂x=∂v/∂y (3) . Непрер-ность частных произв-ых ф-ций u и v вытекает из непрер. f `(z), но усл. (3) совпадает с усл. Коши-Римана, кот. вып. в силу предполож. о том, что ф-ция f(z) явл. аналит. в Д. Т.О. справедливы ра-ва (1), а значит и р-во . □

Если f(z) явл. аналит. в замкнут. односвяз. обл. Д~, то в качестве Г можно взять границу этой обл. Пусть Д n-связная обл., граница кот. сост. из внеш. контура Г, и внутрен. конт. Г2,…,Гn.

Т2.(Коши для n-связн. обл.) Пусть f(z) аналит. в n-связн. обл. Д~,тогда инт. от ф-ци f по границе Д~ =0, при этом предполож., что обход граничных кривых проводитя в таком направл., чтобы Д оставалась слева.

Т2*. Если ф-ция f(z) аналит. в n-связн. обл. Д и все граничные контуры Г1 и Г2,…,Гn обход. в одном и том же направл., то (5), где Г1-внеш. контур, охват. остальные.

док-во. следут из ф-лы (4), если у контуров Г2,…,Гn или у контура Г1 изменить направл. обхода на против-ый и перенести в др.часть р-ва(4)соотв. инт.

След-e 1. Пусть f(z) аналит. в 1-связ. обл. Д и пусть a,b Д, тогда инт. по всем кривым идущим из a в b, лежащ. внутри Д, равны м\д собой.Т.е. инт. зависит не от пути, а лишь от его нач. и конечной точки.

Т-ки. z, в кот. 1-значн. f(z) явл. аналит., наз.регулярными или правильными т. ф-ции f(z). Т., в кот. f(z) не явл. аналит., в том числе точки, в кот. f(z) не опред. наз. особыми. Особая точка z0, в кот. найдется такая окрестность с центром в т. z0, в каждой точке кот. за исключением точки z0 ф-ция f(z) явл. аналит. наз. изолированной.

След-e2. (неизмен-ость инт. при деформации пути инт.) Инт. от аналит. ф-ции f(z) по кривой Г(замкн. или незамкн.) не изменят своей величины при любой непрер. деформации кривой Г, если только при этой деформации Г не пересечет особых точек ф-ции f(z). В случае незамкнутой кривой Г подразумевается, что при деформации начало и конец Г остается неподвижным.

36. Интегральная формула Коши

37. вычисление вычетов в простых полюсах

38. вычисление вычетов к-го порядка

39. Ряды Лорана

40. Основная теорема о вычетах.

Пусть Г – замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z), и пусть f(z) аналитична во всех точках внутри Г за исключением n изолированных особых точек z₁,z₂,…,z_n. Тогда интеграл от f(z) по Г равен сумме вычетов в этой особой точке, умноженной на 2i:

(1)

Доказательство: Пусть внутри Г расположены изолированные особые точки z₁,z₂,…,z_n (рис. 1)

Рис. 1

Окружим любую из этих точек z_k достаточно малыми окружностями так, чтобы любая окружность _k заключала внутри себя только одну особую точку z_k, целиком лежащую внутри Г и не пересекающуюся с другими окружностями.

Функция f(z) аналитична в замкнутой (n+1)–связной области , ограниченной внешним контуром Г и внутренними контурами ₁, ₂, …, _n. По теореме Коши для многосвязной области (2)