- •Понятия фкп. Выражения для х и у.
- •Основные Элементарные функции
- •Предел и непрерывность фкп
- •Дифференцируемость. Условие Коши-Римана
- •Гармонические функции. Гармонические пары.
- •Определение и св-ва аналитических функций
- •Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •Линейная функция
- •Простейшая дробно-линейная функция
- •Степенная функция
- •Дробно-линейная функция
- •Интегрирование по комплексному аргументу
- •Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Ряды с комплексными членами
- •Изолированные особые точки и их классификация
- •Ряд Тейлора
- •Ряд Лорана
- •Основные теоремы о вычетах
- •Скалярное поле. Определение. Линии и поверхности уровня.
- •Скалярное поле. Производная по направлению.
- •Скалярное поле. Градиент
- •Векторное поле. О. Векторные линии и векторные трубки
- •Поток векторного поля. О. Вычисление.
- •Дивергенция векторного поля. О. Выч. Теорема г-о
- •Циркуляция векторного поля. О. Вычисление
- •Ротор векторного поля. О. Выч. Теорема Стокса
- •Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка
- •Специальные виды векторных полей. Соленоидальое
- •Специальные виды векторных полей. Потенциальное
- •Специальные виды векторных полей. Лапласово (гармоническое)
- •Теорема о разложении векторных полей.
- •Применение вычетов к вычислению контурных интегралов
- •Применение тфкп
- •Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа.
- •Определение евклидова пространства
- •Определение линейных пространств. Аксиомы. Свойства
- •Линейные операторы. Действия с лин. Операторами
- •Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.
- •Ортогональный и ортонормированный базис
- •Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции
- •Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега
- •Нормированные пространства. Норма. Примеры
- •Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения
- •Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс Ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве.
- •Дифференциальные уравнения с частными производными
- •Основные уравнения математической физики
- •Явная и Неявная разностная схема
Специальные виды векторных полей. Соленоидальое
О. Векторное поле a, для всех точек которого дивергенция равна нулю, называется соленоидальным. Свойства соленоидального поля: 1. В соленоидальном поле a поток вектора, через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. соленоидальное поле не имеет источников и стоков. Док-во. Это свойство следует из формулы Г-О:
K= = =0, т.к. div a = 0 (ч.т.д.). 2. Каждое соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т.е. если div a = 0, то существует такое векторное поле b, что a = rot b, вектор b называюь вектором-потенциалом данного поля. 3.В соленоидальном поле поток вектора в направлении векторных линий через каждое сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что в поле скоростей текущей жидкости количество жидкости, втекающей за единицу времени в часть векторной трубки равно количеству жидкости, вытекающей из неё.
Специальные виды векторных полей. Потенциальное
О. Векторное поле a, для всех точек которого ротор равен нулю, называется потенциальным rot a = 0. Свойства потенциального поля. Циркуляция потенциального поля a по любому замкнутому контуру равна нулю. Док-во. Это св-во следует из ф-лы Стокса: С= = =0, т.к. rot a = 0 (ч.т.д.) 2. Вектор a потенциального поля является градиентом некоторой скалярной функции. Справедливо и обратное утверждение: поле градиента скалярной функции u=u(x,y,z) является потенциальным.
3. Если поле а потенциальное, то потенциал поля u(x,y,z) в произвольной точке P(x,y,z) мажет быть вычилсен по формуле: u(P)=u(x,y,z)= , где А – фиксированная точка. Для вычисления интеграла, для простоты выбирают путь со звеньями, параллельными осями координат, соединяющий точки А и Р. За точку а можно взять нач. коорд. u(x,y,z)= axdx+aydy+azdz+C= ax(x,0,0)dx+ ay(x,y,0)dx+ az(x,y,z)dx+С.
Специальные виды векторных полей. Лапласово (гармоническое)
О. Векторгое пол называется лапласовым, если оно одновремнно является соленоидальным и потециальным. Пример гармонического поля: поле тяготения. Поскольку поле потенциальное, то a = grad u, причем rot a = 0, u – потенциал поля. Условие соленоидальности означает, что div a = 0.
div a = div grad u = ▼∙(▼u) = ∆u = 0. ∆u= Вывод: в гармоническом поле лапласиан равен нулю. О. Функции, лапласиан которых равен нулю называют гармоническими.
Теорема о разложении векторных полей.
Т. Всякое векторное поле можно представить в виде суммы соленоидального и потенциального векторных полей a=an+ac. Из определений соленоидального и потенциального векторных полей следует, что an=grad u, div ac=0. Из теоремы a-an=ac, тогда div (a-an) = div ac = 0 => div a – div an = 0 => div a – div grad u = 0 => div a - ∆u = 0. Итак, для решения задачи разложения требуются три равенства: 1). an = grad u; 2). ac = a – an; 3). div a = ∆u.
Применение вычетов к вычислению контурных интегралов
Для вычисления контурных интегралов используются первая и вторая теоремы о вычетах: 1. Интеграл равен произведению (2πi) на сумму вычетов относительно особых точек f(z), лежащих внутри контура Г: . 2. Сумма всех вычетов относительно особых точек f(z) равна нулю: .