- •Понятия фкп. Выражения для х и у.
- •Основные Элементарные функции
- •Предел и непрерывность фкп
- •Дифференцируемость. Условие Коши-Римана
- •Гармонические функции. Гармонические пары.
- •Определение и св-ва аналитических функций
- •Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •Линейная функция
- •Простейшая дробно-линейная функция
- •Степенная функция
- •Дробно-линейная функция
- •Интегрирование по комплексному аргументу
- •Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Ряды с комплексными членами
- •Изолированные особые точки и их классификация
- •Ряд Тейлора
- •Ряд Лорана
- •Основные теоремы о вычетах
- •Скалярное поле. Определение. Линии и поверхности уровня.
- •Скалярное поле. Производная по направлению.
- •Скалярное поле. Градиент
- •Векторное поле. О. Векторные линии и векторные трубки
- •Поток векторного поля. О. Вычисление.
- •Дивергенция векторного поля. О. Выч. Теорема г-о
- •Циркуляция векторного поля. О. Вычисление
- •Ротор векторного поля. О. Выч. Теорема Стокса
- •Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка
- •Специальные виды векторных полей. Соленоидальое
- •Специальные виды векторных полей. Потенциальное
- •Специальные виды векторных полей. Лапласово (гармоническое)
- •Теорема о разложении векторных полей.
- •Применение вычетов к вычислению контурных интегралов
- •Применение тфкп
- •Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа.
- •Определение евклидова пространства
- •Определение линейных пространств. Аксиомы. Свойства
- •Линейные операторы. Действия с лин. Операторами
- •Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.
- •Ортогональный и ортонормированный базис
- •Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции
- •Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега
- •Нормированные пространства. Норма. Примеры
- •Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения
- •Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс Ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве.
- •Дифференциальные уравнения с частными производными
- •Основные уравнения математической физики
- •Явная и Неявная разностная схема
Изолированные особые точки и их классификация
О. Пусть f(z) – однозначная и аналитическая функция в вырожденном кольце D:
0<|z-z0|<R и пусть существует комплексное число z1 такое, что если положить f(z0)=z1, то f(z) станет аналитической во всем круге |z-z0|<R. В этом случае точка z0 называется правильной точкой функции f(z). Иначе, в правильных точках не нарушается аналитичность. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми. О. Если в достаточной близости к особой точке z0 нет других особых точек, то z0 называется изолированной особой точкой, иначе, z0 – изолированная особая точка функции f(z), если f(z) – однозначная аналитическая функция в кольце 0<|z-z0|<R, где z0 – особая точка. Логически возможны и исключают друг друга 3 случая:
1-й случай. Если главная часть разложения функции в ряд Лорана в точке Z0 отсутствует, т.е. ряд имеет вид n (z - z0)n, то изолированная особая точка Z0 называется устранимой. Либо если функция f(z) – аналитическая в окрестности точки z=z0 и ограничена по модулю в этой окрестности, т.е. существует конечный предел 2-й случай. Если главная часть разложения функции в ряд Лорана в точке Z0 содержит лишь конечное число членов (иначе, содержит конечное число членов с отрицательными показателями), т.е. ряд имеет вид
n = + c0+c1(z-z0) + c2(z-z0)+… то изолированная особая точка Z0 называется полюсом порядка m≥1. Либо если f(z) –аналитическая в окрестности точки z=z0 и справедливо равенство .
3 случай. Если главная часть разложения функции в ряд Лорана в точке Z0 содержит бесконечное число членов, т.е. ряд имеет вид: n, то изолированная особая точка Z0 называется существенно особой точкой. Либо если при z, близких к точке Z0, |f(z)| не остается ограниченным, но функция не стремится к бесконечности при z стремящемся к Z0, т.е. не существует.
Ряд Тейлора
О. Пусть дана функция f(z), аналитическая в некоторой окрестности точки z0. Ряд наз. рядом Тейлора ф-ии f(z) и внутри круга сход-ти выполн. рав-во: . Т. (т. Тейлора). Всякая аналитическая функция f(z) внутри круга с центром в точке z0 и радиусом R, т.е |z – z0| < R, может быть разложена внутри этого круга в степенной ряд Тейлора по степеням (z – z0) : , коэффициенты cn которого определяются по формулам: (по интегральной формуле Коши) = где Г – какая-ниб. фиксированная концентрическая окружность радиуса r < R, т.е. лежащая внутри круга сходимости.
Ряд Лорана
Рядом, обобщающим понятие степенного ряда, является ряд Лорана. Рассмотрим разложение в ряды двух функций: 1-ый ряд:
2-ой ряд:
Область сходимости 1-го ряда, если она существует, определяется неравенством:
, отсюда, , где (*)
Область сходимости 2-го ряда, если она существует, определяется неравенством:
, отсюда, , где (**), причем
О. Рядом Лорана называется ряд n, представляющий собой сумму двух рядов: , при этом 1-й ряд – f1(z) - называется главной частью, а 2-й ряд – f2(z) – правильной частью ряда Лорана.
Вычисление Вычетов. Определение (Т. дальше…)
О. (первое определение вычета). Если f(z) аналитическая функция в некоторой окрестности точки Z0, за исключением, может быть, самой точки Z0, то вычетом функции f(z)относительно точки Z0 называется число, равное значению интеграла: выч[f(z);z0] =
= , где γ – некоторый простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z) и содержащий внутри себя только 1 особую (.) Z0.
О. (второе определение вычета). Коэффициент при (–1) –ой степени разложения функции f(z)в ряд Лорана наз. вычетом функции f(z) относ. (.) Z0: выч[f(z);z0] = c-1
Формулы для нахождения вычетов:
1. Пусть Z0– полюс первого порядка функции f(z). Тогда главная часть ее разложения в ряд Лорана содержит одно слагаемое: f(z) = + c0+c1(z-z0) +…. Умножим обе части данного равенства на (z – z0) и найдем предел при z → z0:
c-1 + (z – z0)c0 + c1(z – z0)2 +…) = c-1. Следовательно, имеем выч[f(z);z0] = . (Если f(z) = , то выч[f(z);z0] = )
2. Пусть Z0 – полюс порядка m≥2 функции f(z). Тогда выч[f(z);z0] = [( )mf(z)](m-1).
3. Пусть Z0 – устранимая особая точка функции f(z). Тогда главная часть ее разложения в ряд Лорана отсутствует: выч[f(z);z0] = 0.
4. Пусть Z0 – существенно особая точка функции f(z), тогда вычет относительно ее можно найти только по разложению функции в ряд Лорана, т.к. главная часть содержит бесконечное число членов: выч[f(z);z0] = c-1.
5. Пусть z0= – изолированная особая точка функции f(z), Тогда вычетом функции относительно точки z0= является коэффициент при (–1)-ой степени разложения функции в ряд Лорана, взятый с противоположным знаком: выч[f(z); ] = -c-1.