Циркуляция векторного поля. О. Вычисление

О. Циркуляцией векторного поля a(Р) вдоль замкнутого контура l называется криволинейный интеграл по контуру l от скалярного произведения вектора a на вектор S:

C = = = a_xdx + a_edy + a_zdz, где a∙s=|s|Пр_sa=1∙Пр_sa=a_s – проекция вектора поля на направление касательной; dl – дифференциал длины дуги.

О. Циркуляцией векторного поля a(Р) вдоль замкнутого контура l называется работа векторного поля вдоль замкнутого пути l.

О. Векторное поле a(P) называется потенциальным, если работа этого поля не зависит от формы пути. Вычисление. 1-й способ. Пусть дана окружность x²+y²=R².

Пусть направление обхода вдоль l положительное. Вычислим циркуляц.

вектора a(P)=yi-xj. Решение: С= a_xdx+a_ydy = ydx – xdy (*)

Обозначим заданную окружность через l. Данный интеграл можно

вычислить 2 способами: 1). Выразим уравнения окружности y, будем рассматривать только верхнюю сторону ркружности: y=+ , при этом R≤x≤–R. Найдем дифференциал dy: dy= = .. Подставим в (*):

С=2 ( – )dx=…= -2πR² 2). Кривая l замкнутая, => для вычисления криволинейного интеграла 2 рода используем формулу Грина:

= dxdy, где D – область, ограничен. кривой l.

P(x,y)=y, Q(x,y)=-x => =-1, =1 => C= = =-2 = =-2S_D=-2πR².

Ротор векторного поля. О. Выч. Теорема Стокса

О. Ротором векторного поля a(P)=a_xi + a_yj + a_zk в точке Р называется вектор, равный

rot a(P) = [( )i + ( )j + ( k]_P. Правая часть равенства – это разложение по первой строке определителя: rot a = . Вычисление.

Пусть дано векторное поле a(P)=xyi + yzj + xzk. Найдем его ротор: rot a = =

=(вычислим определитель, разложив его по первой строке)=

=i( ) + j( ) +k( ) = -yi+zj-xk. Т. Стокса. Циркуляция векторного поля a(P)=a_xi + a_yj + a_zk по произвольному кусочно-гладкому контуру l равна потоку вектора rot a через поверхность σ, ограниченную этим контуром:

С=Krota= = .

Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка

Градиент, дивергенция, ротор удобно записывать с помощью оператора Гамильтона:

▼= + + . О. Действия градиента, дивергкнции, ротора называют дифференциальными операциями 1 порядка (в них учавствуют только 1-ые производные)

Правила действий с оператором Гамильтона («набла вектора»):

1. Произведение «набла вектора» ▼ на скалярную функцию u(P) дает градиент этой функции: ▼u = grad u. 2. Скалярное произведение «набла вектора»▼ на векторную функцию a(P) дает дивергенцию этой функции: ▼∙a(P) = div a(P). 3. Векторное произведение «набла вектора» ▼ на векторную функцию a(P) дает ротор этой функции ▼ a(P)=rot a(P), Диф. операции II пор., их всего 5: div grad u, rot grad u, grad div a, div rov a, rot rot a. Рассмотри их: 1. div grad u = div (▼u) = ▼∙(▼u) = (▼∙▼)u = = ∆u – лапласиан. 2. rot grad u = ▼ gradu = ▼ (▼u) = (▼ ▼)u=0. 3. grad div a = ▼div a = ( )i + ( )j + (( )k. 4.div rot a=

=▼∙rot a = ▼∙(▼ a) = 0. 5. rot rot a = ▼ rot a = ▼ (▼ a) = ▼(▼∙a) – (▼∙▼)a =

= grad div a - ▼a.