- •Понятия фкп. Выражения для х и у.
- •Основные Элементарные функции
- •Предел и непрерывность фкп
- •Дифференцируемость. Условие Коши-Римана
- •Гармонические функции. Гармонические пары.
- •Определение и св-ва аналитических функций
- •Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •Линейная функция
- •Простейшая дробно-линейная функция
- •Степенная функция
- •Дробно-линейная функция
- •Интегрирование по комплексному аргументу
- •Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Ряды с комплексными членами
- •Изолированные особые точки и их классификация
- •Ряд Тейлора
- •Ряд Лорана
- •Основные теоремы о вычетах
- •Скалярное поле. Определение. Линии и поверхности уровня.
- •Скалярное поле. Производная по направлению.
- •Скалярное поле. Градиент
- •Векторное поле. О. Векторные линии и векторные трубки
- •Поток векторного поля. О. Вычисление.
- •Дивергенция векторного поля. О. Выч. Теорема г-о
- •Циркуляция векторного поля. О. Вычисление
- •Ротор векторного поля. О. Выч. Теорема Стокса
- •Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка
- •Специальные виды векторных полей. Соленоидальое
- •Специальные виды векторных полей. Потенциальное
- •Специальные виды векторных полей. Лапласово (гармоническое)
- •Теорема о разложении векторных полей.
- •Применение вычетов к вычислению контурных интегралов
- •Применение тфкп
- •Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа.
- •Определение евклидова пространства
- •Определение линейных пространств. Аксиомы. Свойства
- •Линейные операторы. Действия с лин. Операторами
- •Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.
- •Ортогональный и ортонормированный базис
- •Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции
- •Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега
- •Нормированные пространства. Норма. Примеры
- •Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения
- •Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс Ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве.
- •Дифференциальные уравнения с частными производными
- •Основные уравнения математической физики
- •Явная и Неявная разностная схема
Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Пусть в области D на плоскости (z) задана аналитическая функция т.е. u(x,y) и v(x,y) – гармоническая пара. Зададим определенное значение . Этому значению соответствует определенное значение Следовательно, каждой точке z = (x,y) на плоскости (Oxy) соответствует определенная точка ω = (u,v) на плоскости (Оuv) и наоборот, т.е. задается взаимно-однозначное отображение области D плоскости (z) на область G плоскости (ω) посредством аналитической функции или, что тоже самое, посредством гармонической пары.
Т. Отображение посредством аналитической функции конформно при условии, что якобиан I 0.
Геометрический смысл аргумента производной: – аргумент производной функции в точке Z0 геометрически равен углу , на который нужно повернуть касательную L в точке Z0 к кривой Г, чтобы получить касательную в точке ω0 к образу этой кривой Г/. Геометрический смысл модуля производной: - модуль производной функции в точке Z0 геометрически равен коэффициенту растяжения в точке Z0 при отображении ω = f(z).
Линейная функция
a, b , т.е. . Так как , то имеем, что . Следовательно, , .
1) – аналитическая функция, т.е. u и v – гармоническая пара, т.к. выполняются условия КРЭДа: , .
2) для всех z .
Из 1) и 2) следует, что отображение, реализуемое линейной функцией, конформно на всей плоскости Гаусса. Вывод:
Отображение, осуществляемое линейной функцией, представляет собой композицию растяжения , поворота и параллельного переноса
Простейшая дробно-линейная функция
– аналитическая функция, т.к. выполняются условия КРЭДа. ни при каком конечном z (лишь при ). Следовательно, производная существует всюду, кроме z = 0.
Отображение, реализуемое функцией, конформно всюду на (z), кроме точки z = 0 и бесконечно удаленной точки . Если положить , то отображение будет конформно во всей плоскости (z). При этом угол между прямыми в точке О отображается на такой же угол в бесконечно удаленной точке .
О. Преобразование, переводящее внутренность единичного круга во внешность и наоборот, называется инверсией.
Вывод: При отображении, реализуемом функцией , происходит инверсия: внутренность единичного круга отображается в его внешность и наоборот, при одновременном симметрическом отображении относительно оси (Ох).
Степенная функция
, z ≥ 2. – аналитическая функция на всей плоскости Гаусса: кроме z = 0. Следовательно, отображение, задаваемое функцией конформно всюду, кроме начала координат.
Запишем комплексное число z тригонометрической форме . Тогда (формула Муавра).
У степенной функций сектор раствором плоскости (z) конформно отображается на всю плоскость ( ).