Дробно-линейная функция

, ad–bc ≠ 0, a,b,c,d . может быть приведена к виду где .

– аналитическая во всей расширенной плоскости Гаусса, кроме . Если принять, что , и углы между кривыми при переходе от точки к точке Z = и наоборот равны, то отображение будет конформно во всей расширенной плоскости Гаусса.

Дробно-линейная функция вполне определяется заданием образов трех точек. Например, если , то .

Интегрирование по комплексному аргументу

О. Если существует конечный предел интегральной суммы при , который не зависит ни от способа разбиения дуги на элементарные дуги, ни от выбора на них точек , то он называется интегралом от функции по дуге кривой l и обозначается . Т (существования). Если функция непрерывна на l , то интеграл от нее по дуге l существует. Формула для вычисления интеграла:

.

Свойства: 1. . 2. .

3. . 4. , . 5. . 6. Если – аналитическая функция, то интеграл не зависит от пути интегрирования l.

Теорема Коши. Интегральная формула Коши

Т. (т. Коши). Если функция ω = f(z) однозначная аналитическая функция в односвязной области D, ограниченной контуром L и l –замкнутый контур в области D,то . Если, дополнительно, функция ω = f(z) – непрерывна в замкнутой области , то . Доказательство. . В силу аналитичности функции функции u(x,y) и v(x,y) образуют гармоническую пару, для которой справедлива т. Коши:

. Следовательно, , ч.т.д.

Т. (интегральная формула Коши). Значение функции ω = f(z), аналитической в односвязной области D, в особой точке определяется ее значениями на любом замкнутом кусочно-гладком контуре l, охватывающем точку z₀ , целиком лежащем вместе со своей внутренностью в области D, и вычисляется по формуле:

. При этом функция ω = f(z) имеет всюду в D производные любого порядка, для кот. справедливы ф-лы:

Ряды с комплексными членами

Рассмотрим последовательность комплексных чисел , n = 1,2,…

О. Последовательность комплексных чисел Z _n называется сходящейся, а число z=x+iy ее пределом , если существуют конечные пределы

О. Числовым рядом с комплексными членами называется составленное из последовательности комплексных чисел выражение: . Частичной суммой ряда называется выражение S_n = _n = z₁ + z₂ +…+ z_n.. О. Ряд _n называется сходящимся, если существует конечное число S такое, что , где S – сумма ряда. Так как S – комплексное число, то S = u +iv.

Необх. и дост. условие сходимости: ряд _n = _n + iy_n сходится к сумме S = u + iv тогда и только тогда, когда сходятся в отдельности ряды из действительных и мнимых частей его членов и выполняются равенства: _n = u, _n = v. О. Ряд _n называется абсол. cход., если сходится ряд из модулей членов данного ряда z_n|.