Понятия фкп. Выражения для х и у.

О. Пусть дано некоторое множество М комплексных чисел z, например, некоторая область на плоскости Гаусса (z). Если каждому элементу z из этого множества по некоторому закону f поставлено в соответствие одно, вообще говоря, комплексное число ω = f(z), то говорят, что на множестве М определена функция комплексного переменного (ФКП) – ω. ω = f(z)

Область определения ФКП – множество М точек плоскости Гаусса(z).

О. Область М (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывно стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области (иначе, область без «дырок»).

Евклидово пространство – метрическое пространство, в котором для любых двух точек x и y определено число ρ(x, y) – расст. от х до y или метрика так, что выполняются аксиомы: 1) ρ(x, y) = ρ(y, х), 2) ρ(x, y) > 0 при x y; ρ(x, х) = 0 при любых х, 3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ρ(y, z).

Рассмотрим комплексное число z = x + iy, тогда значение функции в точке z равно ω = f(z) = u + iv, Re[f(z)] = u – действительная часть, Im[f(z)] = v – мнимая часть функции ω = f(z). Т.о. при переходе от точки z к точке z₁ меняются координаты x и y на плоскости Гаусса, следовательно, меняется и значение f(z), т.е. изменяются u и v, следовательно, u и v тоже функции переменных x и y: ω = f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

Основные Элементарные функции

1. Дробно-рациональная ω= f(z)= .

2. Показательная функция ω = f(z) = e^z = e^x(cosy + isiny)

3. Триг. функции. C помощью формулы Эйлера sin z = (e^iz-e^-iz); cosz= (e^iz+e^-iz);

4. Гиперболические функции: shz= (e^z-e^-z); chz= (e^z+e^-z);

5. Логарифмические функции. Ln z , .

_{6. Общая степенная функция} ω=z^a. а) Если а = n – натуральное число, то степенная функция ω = zⁿ определяется как: ω = zⁿ = rⁿ(cosnφ + isin nφ).

б) если a= , где n N, то ω = = = , k = 0,1,2,…,n-1. в) Если a= , где p,q N, то

ω = = = , k = 0,1,2,…,n-1.

г) Степенная функция ω = z^α, где α = α + iβ – произвольное комплексное число. Тогда степенная функция ω = z^a = z^α+βi определяется как z^a = =e^aLnz.

7. Общая показательная функция ω = a^z. ω = a^z = e^zLna, a C

8. Обратные тригонометрические функции: Arcsinz = -iLn(iz+ );

Arcsosz=-iLn(z+ ); Arctgz = , (z i); Arcctz = , (z i).

9. Обратные гиперболические функции:

Arshz = Ln(z+ ); Archz = Ln(z+ ); Arhz = Ln .

Предел и непрерывность фкп

О. Число A называется пределом функции ω = f(z) при z → z₀ и обозначается

A = , если для любого положительного ε найдется число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех z z₀, удовлетворяющих неравенству |z – z₀| <δ выполняется неравенство |f(z) – A| < . О (первое определение непрерывности функции в точке). Функция ω = f(z) называется непрерывной в точке z₀, принадлежащей ее области определения, если . Отсюда можно записать, что для непрерывности функции в точке должно выполняться равенство нулю разности: .

О (второе определение непрерывности функции в точке). Функция ω = f(z) называется непрерывной в точке z₀, принадлежащей ее области определения, если О. Функция ω = f(z) называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Т. (необходимое и достаточное условие непрерывности). Для непрерывности ФКП необходима и достаточна непрерывность составляющих ее функций:

ω = f(z) – непрерывна u = u(x, y); v = v(x, y) – непрерывны.

Замечание. Равенство эквивалентно двум равенствам: