Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения

Метрическое пространство M есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой)  , где   обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек   из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1.  (аксиома тождества). 2.  (аксиома симметрии). 3.  (аксиома треугольника).

Примеры. 1.Дискретная метрика:  , если x = y, и   во всех остальных случаях. 2. Вещественные числа с функцией расстояния   и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами. 3.Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния .

Сжатые отображения. Рассмотрим полное метрическое пространство X с метрикой r. Отображение P пространства X в себя называется сжатым (говорят также, что отображение P есть оператор сжатия ), если существует число a, 0 < a < 1, такое, что для всех x, y принадлежащим X.

Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс Ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве.

Ортогональный базис - ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Процесс ортогонализации. Алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов (в евклидовом или эрмитовом пространстве V) ортогональной системы векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс Грама-Шмидта.

Определение. Сопряженным оператором к оператору   называется такой оператор   , который удовлетворяет равенству (A(x),y) = (x,A∙(y)).

Дифференциальные уравнения с частными производными

Уравнение, связывающее неизвестную функцию u(x₁,…,x_n), независимые переменные x₁,…,x_n и частные производные от неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными. Оно имеет вид , где – заданная функция своих аргументов. Порядок старшей производной, входящей в это уравнение, называется порядком уравнения с частными производными.

Решением уравнения с частными производными называется всякая функция u = u(x₁,…,x_n), которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

Основные уравнения математической физики

– волновое уравнение:

– уравнением теплопроводности:

– уравнение Пуассона:

– уравнение Лапласа:

– уравнение Фурье: или

Явная и Неявная разностная схема

1. Явная разностная схема получила свое название в связи с тем, что она в явном виде определяет последующие во времени значения неизвестной сеточной функции в зависимости от предыдущих.

2. Условие , необходимое для устойчивости явной разностной схемы, может вызвать неоправданно большое число шагов по τ. В таких случаях можно использовать другую разностную схему:

Данная схема дает значения искомой сеточной функции в неявном виде – в виде системы уравнений, поэтому она называется неявной.