25. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение 0 (1), где - действительные числа. Будем решать ур (1) методом Эйлера. Согласно методу решение ищем в виде (2), где - некоторый параметр. Продифференцируем (2) n раз и подставим в (1)

, ,…, .

После деления на получим (3)

Таким образом для того чтобы (2) было решением (1) необходимо, чтобы удовлетворяло уравнению (3). Ур (3) называют характеристическим для (1). Рассмотрим следующие случаи

Пусть корни характеристического уравнения (3) различные действительные

Тогда согласно (2) каждому из этих корней будет соответствовать решение

. Легко показать, что определитель Вронского состоит из этих решений например в точке х=0 отличен от 0, т.е. система решений линейно не зависимая, а значит согласно теореме о структуре общее решение в этом случае имеет вид:

, где С- произвольные постоянные.

Пусть среди корней ур (3) есть комплексный . Т.к. коэффициенты уравнения (3) действительные, то обязательно есть комплексно сопряженный корень

. Пусть имеем пару Согласно формуле (2) имеем По формуле Эйлера представления комплексной экспоненты в тригонометрической форме будем иметь:

Таким образом паре комплексных сопряженных корней соответствует два решения

. Легко показать, что функции - линейно не зависимые. А значит общее решение в этом случае будет иметь вид:

Пусть среди корней ур (3) есть действительный kкратный корень λ. Известно, что если λ- k кратный корень, то L(λ)= = ; Пользуясь этим утверждением и используя формулу Ньютона-Лейбница дифференцируем произведения двух функций. Легко доказать, что k кратному действительному корню будет соответствовать kрешений: . Общее решение в этом случае имеет вид: .

Если имеем kкратную комплексно-сопряженную пару (всего 2k корней). Общее решение имеет вид:

26. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постояннымикоэффициентамии специальной правой частью

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾+a₁y ^(n-1)+…+a_n-1y^’+a_ny=f(x) (1), гдеa_i, i=1,n; a_i – действительные числа. Если в (1) f(x)-любая непрерывная функция, то (1) интегрируется методом вариации произвольных постоянных.

Если в (1) f(x) имеет специальный вид ,то f(x)=e^αx(P_m(x)*cos(βx)+Q_l(x)*sin(βx)), P_m(x), Q_l(x)- m,l–полиномы соответственных степеней, то частные решения (1) ищутся методом подбора (методом неопределенных коэффициентов).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1⁰Пусть первая часть (1) представляет собой многочлен некоторой степени (m).F(x)=P_m(x)=A₀x^m+A₁x^m-1+…+A_m-1x+A_m, тогда

1. Если 0- не является корнем характерестического уравнения λⁿ+a₁λ^n-1 +…+a_n-1λ+a_n=0, то частное решение y* для (1) также ищем в виде многочлена (m) степени с неопределенным коэф.

y*=B₀x^m+B₁x^m-1+…+B_m-1x+B_m

Для того, чтобы найти коэф. B_i, i=0,m дифференцируем y* n-раз. Затем подставляем y*,y*’…y*⁽ⁿ⁾в (1) и приравниваем в полученном соотношении слева и справа коэф. при x^m, x^m-1 ,…,x⁰.

Из полученной системы находим B₀, B₁,… Общее решение системы (1) – y=y₀+y*

2. Если 0 –является k- кратным корнем характерестического уравнения , то частное решение в этом случае ищут в виде y*=x^k(B₀x^m+ B₁x^m-1+…+B_m-1x+B_m). Коэф. B_iнаходится описанным выше способом . Этот случай называется резонансным.

2⁰Пусть правая часть (1) имеет вид f(x)=P_m(x)e^αx тогда

1)Если α – не является корнем характерестического уравнения, то частное решение имеет вид y*=Q_m(x)e^αxQ_m(x) –многочлен m-ой степени с неопределенными коэф.

2) Если α–является к- кратным корнем характерестического уравнения, то y*=x^kQ_m(x)e^αxQ_m(x)

3⁰ ПустьF(x) имеетвидf(x)= P_m(x)*cos(βx)+Q_l(x)*sin(βx)

1) Если пара +αβ не является корнем характерестического уравнения , то частное решение ищется в виде M_s(x)*cos(βx)+N_s(x)*sin(βx) , где M_s(x) , N_s(x) – многочлен со степенью S, с неопределенным коэф. Причем S=max(m,l).

2)Если +αβ является к-кратной пары корней характерестического уравнения, тогда решения ищутся в виде y*=x^k(M_s(x)*cos(βx)+N_s(x)*sin(βx))

4⁰f(x)= e^αx (P_m(x)*cos(βx)+Q_l(x)*sin(βx)), тогда

1)Если +αβ не является корнем характерестического уравнения , частные решения имеют вид y*=x^k(M_s(x)*cos(βx)+N_s(x)*sin(βx))

2)Если +αβ к-кратная пара корней характерестического уравнения , тогда решение имеет вид y*=x^ke^αx(M_s(x)*cos(βx)+N_s(x)*sin(βx))

Если правая часть (1) представляет собой линейную комбинацию перечисленных выше функций, то для нахождения общего решения применяют принцип суперпозиции.

№27 Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим систему (1)

А – действительная матрица, f(x) – вектор-функция.

Если в (1) f(x) имеет специальный вид

то, частное решение, в случае отсутствия резонанса, находится по тем-же правилам, что и для неоднородного уравнения.

Если пара α±iβвстречается k-раз то, в частном решении вместо множителя x^kвозникают многочлены на k единиц больше чем самая большая степень многочленов правой части.

1) α±iβ – не корень S=max(m,n)

2) α±iβ –k корень кратности

Метод вариации.

Заключается в нахождении n–неизвестных функций C₁(x),…C_n(x). При нахождении общего решения системы уравнений производится замена постоянных С₁,…С_n на соответствующие функции C₁(x),…C_n(x). Составляется система из n – уравнений из, которой находим эти неизвестные. После подставляем найденные выше C₁(x),…C_n(x) в общее решение и получаем ответ.

№28 Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

Рассмотрим систему (1)

–действительная матрица

Согласно методу Эйлера решение системы (1) будем искать в виде

(2) λ – некоторый параметр, γ – числовой вектор

Дифференцируя (2) и подставив в (1) получим

(3)Е – единичнаяматрица

Система (3) является линейной однородной алгебраической системой относительно неизвестного вектора γ. Для того чтобы эти системы имела ненулевое решение необходимо чтобы её главный определитель был равен 0.Т.е. (4)

Характеристическое уравнение для данной системы имеет вид

(4)

Пусть среди корней (4) есть комплексно-сопряжённые λ_1,2α±iβ.Согласно формуле Эйлера будем иметь:

По свойствам решений системы (1) решениями будут