14)Теорема сущ-ния единственности кошидлядифур-я 1-го порядка

Уравнения 1-го порядка будем рассматривать F(x,y,y’)=0 (1)

Это уравнение называют неразрешенным относительно производной y’.Уравнение разрешенное относительно производной имеет вид (2) y’=f(x,y). Решением ур-я 2 наз-ют непрерывно диф-ю ф-ю y=ϕ(x) , обращающую 2 в тождество в области Д-области задания ф-и f. y’=x² ;y=(x³/3)+C . одной из основных задач теории диф-ыхур-й явл-ся задача Коши, кот формулируется так:

Найти реш-е ур-я 2 удовл-е условию 3 y(x0)=y0 (3). Х0,у0-начальные данные .

Теорема Коши :если ф-я f –непрерывно в некоторой области Д и имеет в ней непрерывную частную производную δϕ/δy , то сущ-етреш-е задачи 2,3 и это решение единственное. Дк-во этой теоремы основано на реш-и так наз-гоинтегральногоур-я методом последовательных приближений.

Последовательное приближение строится по формуле :y’=f(x,y) ; y(x0)=y0

На плоскости ОХУ реше-е y=ϕ(x) опред-ет некоторую кривую , кот наз-ют интегральной. Задача Кошизакл-ся в том, что необходимо найти ту интегральную кривую, кот проходит через точку с коор-ми х0,у0. Область Дназ-ют областью единственности реш-я задачи 2,3. Общим реш-ем ур-я 2 в области ед-сти Д наз-ют ф-ю y=ϕ(x,с) , зависящую от производной постоянной С и обладающую след-ми св-вами:

1) При любом знач-и С эта ф-я обращает 2 в тождество

2) Каковы бы ни были начальные данные х0,у0 найдется такое знач-е произвольной постоянной с0 , что ф-я y=ϕ(x,с0) будет удовл-ть начальному условию 3. Реш-е полученное из общего при конкретном знач-и С (может быть ±∞)наз-сячастным. Если неизвестная ф-я найдена неявно, то выраж-е вида Ф(х,у,с)=0 наз-ют общим интеграломур-я 2 , а Ф(х,у)=0 наз-ют частным интегралом .

Общему реш-ю ур-ю соотв-т семейство интегральных кривых. Процесс нах-я реш-я дифф-гоур-я наз-ся интегрированием .

Если в какаждой точке интегральной кривой нарушается ед-сть то через каждую точку проходит еще 1 кривая имеющая в этой точке ту же самую касательную , то такую кривую наз-ют особой интегральной кривой. А реш-е ей соотв-щееназ-ют особымреш-ем.

Особая интегральная кривая явл-сяогибающей семейства интегральных кривых. Особое реш-е не сод-ся в общем ни при каком значении произвольной постоянной С.

15)Ур-я с разделяющимися переменными .

Дифф-ыеур-я 1-го порядказап-ные в форме дифф-ла имеют вид: Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0 . Ур-ем с разделяющимися переменными наз-сяур-я вида М1(х)*N1(y)dx+M2(x)*N2(y)dy=0 (1) . Разделив 1-е на N1(y)*M2(x) получим : М1(х)/М2(х)dx+N2(y)/N1(y)dy=0 (2) Ур-е 2 наз-ют ур-ем с разделенными переменными .

Общий интеграл ур-я 2 имеет вид (3)

При делении переменных могли быть утеряны реш-я , кот явл-ся корнями ур-й М2(х)=0 N1(y)=0 эти реш-я могут быть как частными так и особыми.

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся ур-я вида : y’=f(ax+by+c), a,b,c – константы . Вводим новую ф-ю z=ax+by+c или (z=ax+by) . Выбор подстановки влияет на процесс нахождения интеграла. Учитывая , что z’=a+by’ ; y’=(z’-a)/b . После подстановки получаем (z’-a)/b=f(z) или dz/dx=b*f(z)+a после деления переменных получаем dz/(b*f(z)+a)=dx

Однородныеур-я и приводящиеся к ним

f(x,y)=x⁴-x²*y²+5xy³+x³y=(λx)⁴-(λ²x²)(λ²y²)+5(λx)(λy)³+(λx)³*λy=λ⁴f(x,y)

Надо проверить на однородность . Ф-я явл-сяоднородной , если для нее вып-сярав-во f(λx,λy)=λ^mf(x,y). Число mназ-ют порядком однородности . Если в ур-и Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0 (1) P(x,y);Q(x,y)- явл-ся однородными ф-ми одной и той же степени однородности , то 1 наз-ют однородным ур-ем.

Однородное ур-е приводится к ур-ю с разделяющейся переменной с помощью подстановки z=y/x (2) . Из 2 имеем y=z*x тогда dy=xdz+zdx подставляя в 1 получим P(x,zx)dx+Q(x,zx)*(xdz+zdx)=0 .ткP,Qоднородное например степени m, то считая λ=х будем иметь x^mP(1,z)dx+ x^mQ(1,z)xdz+ x^mQ(1,z)zdx=0 или

(P(1,z)+Q(1,z)*z)dx+Q(1,z)xdz=0

После деления переменных будем иметь dx/x+Q(1,z)/(P(1,z)+Q(1,z)*z)*dz=0

Общий интеграл запишется

Утерянными решениями могут быть x=0 или P(1,z)+Q(1,z)z=0 эти решения могут быть как частными так и особыми.

Ур-я приводящиеся к однородным

уравнения вида y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2))

1)

Вводится подстановка

X=~_x+α

Y=ӯ+β

Если бы не было с то было бы однородное .

α ,β-являются решением системы.

a1α+b1 β+c1=0

a2α+b2 β+c2=0

относительно нового аргумента ~_xи новой функции ӯ уравнение становится однородным.

Решается подстановкой z= ӯ/~_x.

2) Δ=0

a1 =ka2

b1=kb2

уравнение имеет вид

у’=f((k*(a2x+b2y)+c1)/(a2x+b2y+c2)) приводит к уравнению с разделяющимися переменными

подстановка- z=a2x+b2y

2)обобщенные однородные уравнения

Уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называют обобщенным однородным если существует такое число k что левая часть уравнения становится однородной ф-цией если считать x,y,dx,dy- величинами соответственно порядков 1,k,0,k-1 обобщенное однородное уравнение сводится к подстановке z=y/x^k .