31. Основные понятия теории устойчивости

Рассмотрим автономную сист. дифф. ур. y’=f(y)(1). Предположим, что (1) удовлетвор. всем требованиям теоремы существования и единственности решения, удовлетвор. нач. усл.: y(x₀)=y₀ и это решение определено для х>х_{0 .}

Точку (а₁, а₂,…,а_n) называют точкой покоя (положение равновесия) системы (1), если в этой точке а правые части ур. (1) обращаются в 0: f(a)=0. Любая система (1) имеет нулевую точку покоя у=0.

(2) – система описывает интегральные кривые.

Типы точек покоя: y’=Ay (1)

1) λ₁,λ₂ – 2 различных действительных корня характеристического уравнения y’=Ay (1).

а) λ₁>λ₂>0 (фазовые траектории- кривые, типа парабол, кот. касаются собственного вектора, что отвечает меньшему по модулю из чисел λ. Движение от точки покоя (0,0) – неустойчивый узел.

б) λ₁<λ₂<0 (ф.тр. – параболы, движение к точке покоя – устойчивый узел.

в) Согласно (2) при x→∞, z₁→∞, z₂→0, ф. траект. – кривые типа гипербол. Точка покоя – неустойчивое седло. Прямые z₁, z₂ – сепаратрисы седла.

г) λ₁=0, λ₂>0 (λ₂<0). Система (1) имеет множество точек покоя. Фазовые траектории – параллельные прямые, направл. парал. собств. вектору, отвечающему ненулевому корню. Т. Покоя лежат на прямой z₂=0, направ. вдоль собств. вектора, кот.отвеч. числу λ₁=0.

λ₂>0 – неустойчивы, λ₂<0 – устойчивы.

2) λ₁₂=α±iβ – комплексно-сопряженная пара собственных чисел.

а) α=0. Фазовые траект. – кривые типа эллипса; Т. пок. (0,0) – центр (устойчивый). Направление движения определяется вектором скорости.

б) α≠0. Т. покоя – уст.(неуст.) фокус. При уст. – спираль скручивается, при неуст. – раскручивается. Направл. опред. вектором скорости.

3) λ₁=λ₂=λ – двукратный корень. Фазовые траект – кривые типа полупарабол, вытянутые вдоль собств. вектора γ(гамма) – отвечающего числу λ; Т. покоя – вырожденный узел. λ>0 - неуст., λ<0 – устойч.

32. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем 2-го порядка.

Точку покоя y=0, будем наз. устойчивой по Л., если ,такое, что при выполнении услов. ( будет выполнено услов. .

Если кроме указанных требований выполн. точку пок. у=0 наз. асимптотически устойч.

Решение у наз. устойч. по Л., если такое что удовлетв. условию , будет подчиняться услов. в любых др. точках .

Если кроме этого выполнен. , реш. у(х) – асимптотически устойч.

Устойчивость означ., что фазаваятраектор. Покинув пределы -окрестности т. покоя, попад. в её - и не выходит из неё.

Асимптотическая устойч.: фаз.траект. Покинув -окрестность попад. в - т. покоя, а затем снова возвращается в -окрестность и устремляется в саму точку.

33.Устойчивость нелинейных систем по первому приближению

Рассмотрим нелинейную автономную систему

Y₁^|=f₁(y₁,y₂,…,y_n)

Y₂^|=f₂(y₁,y₂,…,y_n)

………… (1)

Y_n^|=f_n(y₁,y₂,…,y_n)

Пусть а=(а₁,а_2,…,а_n)-положение равновесия системы (1)

Предположим, что функции f_I-непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам

Разложим функции f_i в окружности точки в ряд Тейлора, выделив при этом линейные ряды разложения.

Составим систему, коэффициент которой является коэффициент таких разложений, т.е. систему с матрицей коэффициента

(2)

Систему (3): y^|=Ay(3) c матрицей (2) называется системой первого приближения для (1)

Теорема

1)Если все собственные числа матрицы А системы 1-го приближения (3) имеют отрицательную действительную часть, то точка покоя системы (1)-асимптотически устойчива

2)Если среди собственных чисел матрицы (2) есть хотя бы одно с положительной действительной частью, то точка покоя системы (1)-неустойчива

Замечание: Если точка покоя системы (3) устойчива, то об устойчивости точки покоя системы (1) ничего сказать нельзя, т.к. на поведение фазовых траекторий начинают влиять нелинейные члены разложения правых частей системы (1). (проблема центра и фокусы)

№ 34 Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь бо́льшую размерность. В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, а на оси ординат – первая производная x по времени. Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени