16) Линейные уравнения

Линейным уравнением называют уравнение вида y’+p(x)*y=q(x) (1)

Уравнение 1 является линейным неоднородным . если q(x)=0 y’+p(x)y=0 (2)

Уравнение 2 называют соответствующим однородным для 1 . если в 1 коэффициент p(x) и свободный член q(x) непрерывно на некотором интервале I то существует на этом интервале единственное решение уравнения 1 удовлетворяющее начальному условию (3) (x0,y0)€ I

Метод вариации произвольной постоянной (метод Логранжа)

1)Для уравнения 1 записываем соответствующее ему однородное уравнение 2 и интегрируем последнее как уравнение с разделяющимися переменными dy/dx=-p(x)y; dy/y=-p(x)dx; lny=-∫p(x)dx+lnc; y=c*e^-∫p(x)dx(4)

Формула 4 представляет собой общее решение уравнения 2 .

2)Решение уравнения 1 ищем в виде y=c(x)*e^-∫p(x)dx(5). Считая произвольную постоянную 4 функцией от ч дифференцируем 5 и подставляем в 1. С’(x)=q(x) e^∫p(x)dxнаходим ф-циюc(x) и подставляем ее в 5. Y=(∫ q(x) e^∫p(x)dxdx+~c)* e^∫p(x)dx=e^∫-p(x)dx∫ q(x) e^∫p(x)dxdx+~ce^∫p(x)dx (6).Формулой 6 задается общее решение уравнения 1

Уравнение 1 не имеет общих решений все его решения находятся в формуле 6. из формулы 6 следует теорема (о структуре общего решения линейного уравнения):

Общее решение уравнения 1 представляет собой сумму некоторого его частного решения и общего решения, соответствующего однородного уравнения.

Уравнение может быть линейным и относительно х как функции от у , в этом случае оно записывается dx/dy+p(y)x=q(y) .

При решении методом вариации произвольная постоянная с заменяется функцией с(у).

Метод подстановки (Бернули)

Реш-ем ур-я 1 ищем в виде y=u*v (7) тогда y’=u’v+v’u подставляя в 1

u’v+u*(v’+p(x)v)=q(x) (8)

Выберем ф-ю v так, чтобы в 8 выраж-е в скобках лбратилось в 0 . v’+p(x)v=0 ;dv/v=-p(x)dx; ln|v|=-∫p(x)dx ; v=e^-∫p(x)dx(9) . Из множества всех требуемых ф-й быбрали 1 –ну при с=0 . подставляя 9 в 8 получим u’e^-∫p(x)dx=q(x) (10) .Определив из 10 u подставляем ее вместе с v из 9 в 7. Полученное реш-е и будет искомым . если ур-е линейно отн-но х как ф-и у вводится подстановка х=u*v.

Уравнение Бернули

~ наз-ют ур-е вида y’+p(x)*y=q(x)*yⁿ (1)

Приведем 1 к линейному уравнению после деления на уⁿ

y’*y^-n+p(x)y^1-n=q(x)

z=y^1-n (2)

Дифф-ем 2 получаем z’=(1-n)*y^-n*y’

Z’/(1-n)+p(x)z=q(x) (3)

Ур-е 3 явл-ся линейным отн-но z. Ур-е может быть ур-ем бернули и отн-но х , как ф-я у ,тогда она примет вид dx/dy+p(y)x=q(y)xⁿ (4)

Ур-е 1 или 4 имеют особое реш-е у=0 или х=0 только при 0<n<1

17)Уравнения в полных дифференциалах

Если левая часть ур-я P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 представляет собой полный дифференциал нек-й ф-ииU(x,y),то (1) наз-ют ур-ем в полныхдиф-лах.

Такое ур-е можно зап-ть в виде d(u(x,y))=0 то общее реш-е будет иметь вид U(x,y)=C (1’) С-сonst . Согласно опред-ю полного диф-ла имеем du=(δu/δx)*dx+(δu/δy)*dy (2). Сравнивая (1,1’,2) получим δu/δx=P(x,y) ;δu/δy=Q(x,y) (3).Диф-я 1-е из(3)по у(2-ое по х)имеем δ²u/(δxδy)=δP/δy=δQ/δx (4)-необ-е и достаточное усл-е для того, чтоб (1) было ур-ем в полных диф-лах

Алгоритм решения:

1)Если выполнено условие 4 то решение уравнения 1 ищем в виде U(x,y)=C

2)Для нахождения u согласно 1 составляем систему δu/δx=P(x,y) ;δu/δy=Q(x,y)

3)Интегрируем одно из ур-й 3. Если первое, то по х считая у постоянным (если 2 по у).получаем ; 2:

4)Диф-ем найденную ф-ю u по у (если 2 то по х).сравниваем найденную производную с правой частью второго уравнения. Получаем (δ/δy)* =Q(x,y)-для 1(для 2 аналогично)

5)Определив из полученных равенств (или ). Интегрируем найденные ф-и и подставляем их в выражение для ф-и u.

6)Приравниваем полученную ф-ю u к произвольной константе. Получаем общий интеграл уравнения 1. Особых решений не имеет

интегрирующий множитель.

Пусть P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 не является уравненим в полных диференциалах но существует такая ф-ция μ(х,у) после умножения на которую левая часть 1 становится полным дифференциалом μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=0 (2). Для 2 имеем δ(μP)/δy= δ(μQ)/δx (3). Из 3 μ(δP/δy)+P(δμ/δy)=μ(δQ/δx)+Q(δμ/δx) (4). 4 явл-сяурав-ем в частных производных относительно неизвестной ф-ии μ(х,у) и в общем случаи переменна. Рассмотрим некоторые частные случаи

А) найдем условсущ-я интегрирующего множителя зависящего только от х перепишем 4.

Для μ(х) получаем δμ/δx=μ (δP/δy - δQ/δx)/Q (5). 5 наз-тсяур-ем с разделяющимеся переменными. После деления :dμ/μ=((δP/δy - δQ/δx)/Q)dx (6). 6 может быть проинтегрированна если выражение в правой части будет зависеть только от х. (δP/δy - δQ/δx)/Q=ψ

Рассуждая аналогичным способом можно получить условие сущ-я интегрирующего множителя μ(ω(x,y)) : ω=XY ;u=x²+y²; ω= x²+y³