1).Пусть
{ап} числовая послед,где{ап} принадл
множеству чисел n ϵR,nϵN.Выражение
вида 
(1)-наз. числовым рядом.числа а1,а2,аn и
тд.-наз.членами ряда y'=
+
.Сумма
первых п-членов ряда (1) наз.п-ой частичной
суммой данного ряда п и обознач.Sn
Sn=
Рассмотрим последов частичных сумм.Если последов Sn имеет конечный предел S,то числовой ряд(1)наз. Сходящимся и число S наз. суммой ряда.Если же не существует конечный предел {Sп},то ряд (1)наз. расходящимся.
Выражение
вида 
1)+a(i+2)+…
-наз. i-тым остатком ряда и обозначается
ri.
Общиесв-ва числовых рядов.
1.числовой ряд и любой его остаток сходятся и расходятся одновременно
2.Если
ряд 
сходится
и имеет сумму S,то ряд 
,
также
сходится и имеет сумму 
.Если
же сходятся ряды
и
и их суммы равны S,
и
их сумма равна S
заметим,что
утверждение обратное сформулированному
в св-ве 2,вообще говоря неверно .
Необходимые условия сходимости числового ряда.
Если
ряд сходится,то
Отсюда следует,что если предел не равен 0 или не существует,то ряд (1) расходится.Условия (2)не является достаточным,т.е. если оно выполняется,то ряд(1) может как сходится,так и расходится.
Рассмотрим
знакоположительный ряд
,an>0,nϵ
N и ряд с неотрицательными членами
an
(2)
.Отметим,что знакоотрицательный ряд
(
an
)
переходит в знакоположительный путем
умножения его на -1,что в силу св-ва 2,не
влияет на сходимость.
Критерии сходимости ряда (2):
1.Критерии
Коши:для сходимости ряда (2) необходимо
и достаточно,чтобы для любого 
0
существует номер N(
такой,что
при всяком натуральном р и всех n
.
2.Для того,чтобы ряд(2) сходился, необходимо и достаточно,чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
2.)Признаки сравнения рядов:
Сходимость
или расходимость 
an
часто
можно установить путем сравнения его
с другим(эталонным) рядом,о котором
известно сходится он или нет.
1.Признак сравнения
Пусть
даны два ряда с неотрицательными членами
,
и
пусть для любого натурально n
an
(3),тогда
из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,а
из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
.
Отметим,что признак сравнения справедлив и в том случае,когда неравенство (3) выполняется не для всех членов рядов ,а начиная с некоторого номера N.
Чаще
всего в качестве эталонного ряда
рассмотрим так называемый обобщенный
гармонический ряд :1)если 0
2)p
3)p
2.Предельный признак сравнения
Пусть дан ряд с неотрицательными членами и знакоположительный ряд .
Если
существует конечный ,отличный от нуля
(0
,то
эти ряды сходятся или расходятся
одновременно .
Если
необходимо исследовать сходимость ряда
,где
Pk(n),Qm(n)-
многочлены соответствующей степени k
и moт
n,то
ля применения предельного признака
сравнения,в качестве ряда
обычно
выбирают обобщенный гармонический ряд
Признаки Даламбера и Коши:
Признак
Даламбера:пусть
дан знакоположительный ряд
и
существует предел 
=q
,тогда при q
ряд расходится.Признак Даламбера
целесообразно применять,когда общий
член ряда содержит выражение вида n!
или 
.
Признак
Коши:если
для ряда с неотрицательными членами
существует
предел 
=q,то
при q
ряд расходится.
Если q=1,то может быть как сходящимся,так и расходящимся (для Даламбера или Коши).
Интегральный признак Коши:
Пусть
на промежутке [1;
существует неотрицательная невозрастающая
функция F(x),тогда
ряд
и
несобственный интеграл 
сходится и расходится одновременно.
4).Функциональные ряды.
Рассмотрим
ряд вида f1(x)+f2(x)+...+fn(x)=
(1) ,где fn(x),n
Рассмотрим ряд вида (1),для fn(x) имеют функции заданные на множестве X.
В этом случае говорят,что на множестве X задан функциональный ряд.
При
фиксиров. x=x0
ряд
(2) становится числовым рядом.
Если числовой ряд (2) сходится,то говорят ,что функциональный ряд (1) сходится в т.x=x0.
Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его множеством сходимости.
Множество сходимости может совпадать с множеством X,может составлять часть множества X,а может быть и пустым.
Пусть
D
множество сходимости ряда (1).значит для
каждого фиксир. x
соотв. числовой ряд сходится и имеет
сумму
Если каждому x поставить соответственное число равное той сумме ,то на множестве D будет определена некоторая функция S(x) называемая суммой функционального ряда .
S(x)=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)
Функциональный
ряд (1)называется абсолютно сходящимся
на множестве D1
если
в каждой точке x
сходится
ряд 
.
Совокупность числовых значений аргумента x,при которых функциональный ряд сходится ,называется его областью сходимости.
Равномерная сходимость функциональных рядов.
Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (1) S(x)= f1(x)+f2(x)+...+fn(x).
Очевидно,если
фиксировать 
есть числовая последовательность.
Если
существует конечный предел 
,то
он равен S(x0).
По
определению предела числовой
последовательности,это означает, что
для любого номера n>N0
имеет место неравенство| Sn(x0)-S(x0)|<
.
Отметим,что здесь номер N0 зависит от выбора и от точки X0.
Если
же для любого
>0
существует N0,
N0CN
зависящий только от
и не зависящий от 
такой* что для 
выполняется неравенство то говоря, что
функцион. Ряд(1) равномерно сходится на
множестве D.
Критерии Коши
Для равномерной сходимости функционального ряда(1) на множестве D необходимо и достаточно чтобы для любого >0 существует N0=N0( ), такой что для каждого n>N0, для каждого x выполняется неравенство:
|
Признак Вейерштрасса
Если
члены функционального ряда
определены на множестве D
и по модулю не превосходят соответствующих
членов сходящегося знакоположительного
числового ряда 
,т.е.
для всех x
выполняется |
|,
то этот функциональный ряд равномерно
сходится на множестве D.
Отметим, что функциональный ряд удовлетворяющий признаку вейерштрасса называется мажорируемым,а соответствующий числовой ряд мажорирующим.Если члены функционального ряда,являются непрерывными на множестве Д функциями и этот ряд одновременно сходится на Д,то его сумма будет функцией,непрерывной на Д.
Признак Дирихле
Рассмотрим
ряд 
(3)
Ряд(3) сходится равномерно на множестве Д,если выполняются условия:
А)последовательность
частичных сумм {Bn(x)},где
Bn(x)=
,где равномерно ограничена на множестве
Д,т.е. существует М>0,что |Bn|x||≤M
для 
В)Последовательность
{an(x)}
монотонно убывающая на множестве Д.
аn+1(x)
an(x),
и
равномерно стремится к нулю на Д.
Признак Абеля
Ряд(3) сходится равномерно на множестве Д,если выполняются условия:
А)ряд сходится равномерно на множестве Д
В)последовательность {an(x)} равномерно ограничена и монотонна на множестве Д.