10)Тригонометрический ряд Фурье. Достаточное условие сходимости

§ 1. Тригонометрическая система функций

Функция y = f (x) , определенная на множестве X , называется

периодической с периодом T > 0, если при каждом x €X значение

(x- T), (х+ Т) €X и выполняется равенство f(x ±T) = f(x) .

Отметим, что для построения графика периодической функции

периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и

периодически продолжить на всю область определения X .

Тригонометрической системой функций называется система

cos х, sinх , cos2х , sin2х , , cosnx, sinnx,. (1)

Система функций (1) периодична с периодом 2p .

Свойства системы (1):

1) Интеграл по отрезку [- п; п] от произведения двух различных

функций равен нулю (свойство ортогональности).

2) Интеграл по отрезку [-п;п ] от квадрата любой функции из

(1) равен п.

13)Основные понятия и определения ду

Соотношение, связывающее неизвестную функцию независимые переменные и производные по этим переменным называют дифференциальными уравнениями(ДУ).

Если неизвестная функция зависит только от первой переменной то уравнение называют обыкновенным диф уравнением(ОДУ). Если же зависит от нескольких переменных называютду частных производных.

Наивысший порядок производной входящей в уравнение называют порядком этого уравнения.

ОДУ n-го порядка имеет вид F(x,y,y’,..yⁿ)=0. Y(x)-неизвестная функция аргумента х. F-заданная в некоторой области функция.

Метод изоклин в теории и практике дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение первого порядка

определяет в каждой точке (x,y) , где существует функция f(x,y), значение y’ , т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке.

Если в каждой точке области D задано значение некоторой величины, то говорят, что в области D задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) определяет поле направлений.

Тройка чисел (x,y,y’) определяет направление прямой, проходящей через точку(x,y) . Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (1) определяется уравнением

F(x,y)=k

где k —параметр. Придавая параметру k близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального yравнения (1).

Замечание1. Нулевая изоклина f(x,y)=0 дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.

Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят y’’ в силу уравнения:

и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением

и есть возможное геометрическое место точек перегиба.

Замечание 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения (1), т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения (1) не определена.

Рассмотрим уравнение y’=y/x . Семейство изоклин определяется уравнением y/x=k. Это семейство прямых, проходящих через начало координат, так что в начале координат пересекаются изоклины, отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кривым. Нетрудно убедиться, что общее решение данного уравнения имеет вид y=Cx и точка(0,0) является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения