39. Приведение лу в частных производных второго порядка к каноническому виду.

Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

-если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

-если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

-если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

40. Вывод основных уравнений математической физики

1) Уравнение колебаний струны

Постановка задачи. Струна длиной L натянута с силой T₀ и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Вывести уравнение колебаний точки струны при t>0, если концы струны:

а) Закреплены жестко;

б) Свободны;

в) Закреплены упруго;

г) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Решение.

Пусть ось Ох совпадает с направлением струны в положении равновесия. Под струной понимается тонкая нить, которая не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением ее длины.

Для вывода уравнения колебаний выделим участок струны от x до х+Δх и спроецируем все действующие на этот участок силы на оси координат. Согласно принципу Даламбера сумма проекций всех сил должна равняться нулю. Так как здесь изучаются только поперечные колебания, то можно считать внешние силы и силу инерции направленными вдоль оси Оu.

В процессе вывода уравнения будем пренебрегать квадратами величины .

Найдем проекции всех сил в момент времени t на ось Ou:

Пусть p(x,t) – непрерывная линейная плотность внешних сил, тогда на участке вдоль оси Ou действует сила p(x,t)Δx. Для нахождения силы инерции участка воспользуемся выражением - , где m=pΔx.

Таким образом, проекция на ось u силы инерции - , а проекция всех сил на ось Ou:

или

Функция u(x,t) удовлетворяет начальным условиям , где , - заданные функции

Вывод краевых условий:

А) Если концы струны закреплены жестко:

.

Б) В случае свободных концов для получения условия х=0, спроецируем на ось Оu силы, действующие на участке. Так как натяжение в точке х=0 действует лишь параллельно оси Ox, то проекция сил натяжения на участкеравна -

Проекция внешней силы равна -p(0,t)Δx , а проекция силы инерции равна -

Получим

Устремим Δх к нулю, тогда, вследствие непрерывности и ограниченности входящих функций, получим условие -

В) Действие упругих сил заделки на левом конце дается выражением – ku(0,t). Приравниваем в этом случае проекцию всех сил, действующих на участке, на ось Оu, нулю

Уравнение примет вид:

Г) , где функции , определяют закон движения концов.,

2)Уравнение теплопроводности.

Рассмотрим твердое тело V. Пусть температура этого тела в любой точке (х; у; z) в момент времени определяется функцией u(х; у; z; t). Тогда производные - характеризуют скорость изменения температуры в момент времени t.

Выделим элементарный кубик ΔV в теле V и составим для него уравнение теплового баланса.

Количество теплоты, проходящей через переднюю грань кубика ΔV в положительном направлении оси ОХ за время Δt равно -

Аналогично количество теплоты, проходящей через заднюю грань в положительном направлении оси ОХ - .

Отсюда количество теплоты ΔQ_x, входящей в кубик через заднюю и переднюю грани за время Δt, равно:

Рассуждая подобным образом, получаем приближенно количество теплоты ΔQ_y и ΔQ_z, вошедшее в кубик через левую и правую, нижнюю и верхнюю грани:

Тогда общее количество теплоты:

По закону сохранения тепловой энергии в кубике ΔV это количество теплоты равно произведению удельной теплоемкости с, скорости изменения температуры , объема кубикаΔхΔуΔz и времени Δt. Отсюда получаем:

Обозначив а² = α/с, приведем последнее равенство к виду

Это соотношение и есть искомое уравнение теплопроводности твердого изотропного тела.

Если же плотность тепловых источников в телеV равна F(x, y, z, t), то уравнение теплопроводности принимает вид:

Граничное условие может быть задано одним из возможных способов:

, где f(S,t) - известная функция точек поверхности S и времени t;

, где F(S,t) - заданная функция точек поверхности S и времени t;

при теплообмене с окружающей средой граничные условия в общем случае имеют вид:

Начальные условия теплопроводности имеют вид: