7.Непрерывность суммы функционального ряда. Почленноедифференцированиеи интегрирование.

Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда

1. Сумма степенного ряда

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда

.

Почленное дифференцирование

2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если

Т о

Почленное интегрирование

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом

где .

8)Ряды тейлора

Известно что для любой ф-цииf(х) определенной в окресности точки А , имеющие в ней производные до (n+1) порядка включительно справедлива формула тейлораf(x)= f(a)+f’(a)/1!+f’’(a)/2!*(x-a)²+fⁿ(a)/n!*(x-a)ⁿ+r_n(x) где

r_n= f⁽ⁿ⁺¹⁾ƺ(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!это соотношение записываем в виде f(x)=P_n(x)+r_n(x), где P_n(x)- многочлен тейлора

если ф-цияf(x)-бесконечно диф-мая в окрестности точки А и остаточный член r_n(x)(n→∞) стремиться к 0 , то из ф-лытейлора получаем разложение ф-цииf(x) по степеням (х-а) называемые рядом тейлора.

Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z0 ∈ D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z0)n. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.

Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции

f(x)= f(a)+f’(a)/1!+f’’(a)/2!*(x-a)²+fⁿ(a)/n!*(x-a)ⁿ если(а)=0 то называют рядом Маклорена.

Разложение основных ф-ций в ряд Маклорена имеет вид:

9)Применение рядов к реш-ю диф-ыхур-й, выч-е опред-ых интегралов(некоторые применения степенных рядов)

А)приближ-оевыч-е знач-й ф-ции

Для приблих-говыч-я ф-цииf(x) в ее разложении в степенной ряд сохр-ся 1-е n членов, а остальные отбрасываются. Для оценки погрешности полученногоприближ-я требуется оценить сумму отброшенных членов r_n(x). В случае Лейбницевского ряда исп-ся оценка │ r_n(x)│<f_(n+1) где f_(n+1)-1-й из отброшенных членов ряда. Если исходный ряд знакопостоянен,то ряд сост-ся из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей прогрессией

Б)Приближенное вычисление опред-ых интегралов

Применяют в случае, когда первообразное не выраж-ся через элементарные ф-ции.Если при выч-нии интеграла с точностью до Ɛподинтегральная ф-цияf(x) разлог-ся по степеням х в интервале сходимости(-R;R) –этот интервал вкл-ет в себя отрезок [a;b]то исп-ют св-вапочленного интегрирования этого ряда. Ошибка выч-ийопред-ся также как и при выч-ниизнач-й ф-ции т.е. как в(а).

В)Интегрирование диф-ыхур-й с помощью рядов

Будем рассматривать в основном интегрирование линейных диф-ыхур-й а₀(х)*y’’+a₁(x)*y’+a₂(x)*y=f(x) (1)

Если коэф-т а_i(х) i=0..2 и ф-я f(x)-явл-ся аналитическими ф-ми т.е. разлаг-ся на некотором интервале (а,в), в степенные ряды,тореш-е (1) ищут в виде степенного ряда y(x)= (2) .Если же коэф-т ур-я (1) а_i(х) или f(x) имеютособые точки, то реш-е ур-я (1) ищут в виде обобщенного степенного ряда y(x)= где любое действительное число