- •K 2. Теорема Кронекера — Капелли
- •5. Кривая второго порядка
- •6. Поверхность второго порядка
- •Типы поверхностей второго порядка Цилиндрические поверхности
- •Поверхности вращения
- •Гиперболический параболоид («седло»).
- •Центральные поверхности
- •Предел функции по Гейне
- •Предел функции по Коши
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •Теорема
- •14. Предельный переход в неравенствах
- •16. Первый замечательный предел:
- •17. Второй замечательный предел
- •18. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19. Точки разрыва функции и их классификация
- •22. Понятие производной ф-ции. Непрерывность ф-ции, имеющей производную.
- •23. Понятие дифференцируемости функции.
- •24. Производная обратной функции.
- •25. Производная сложной функции.
- •26. Производная параметрически заданной функции.
- •27. Производная произведения двух функций.
- •28. Производная частного двух функций.
- •29. Теорема Роля.
- •30. Теорема Ла-Гранжа.
- •31. Теорема Коши.
- •32. Правило Лопиталя.
- •33. Экстремумы функций одной переменной (точки мах и мин).
- •34. Необходимое и достаточное условие монотонности функции.
- •35. Необходимое, достаточное условие экстремума
- •2. Достаточное условие экстремума.
- •36. Выпуклость, вогнутость функции. Точки экстремума.
- •37. Асимптоты.
- •38. Общая схема исследования функции одной переменной.
- •39. Частные производные и диффер. Функции нескольких переменных.
- •40. Производная от сложной функции нескольких переменных.
- •41. Производная неявно заданной функции.
- •42.Производная по направлению. Градиент.
- •43.Касательная плоскость. Нормаль к поверхности.
- •44. Необходимые, достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных.
23. Понятие дифференцируемости функции.
Дифференциа́л — линейная часть приращения функции.
Теорема:
Функция у=ƒ(х) дифференцируема в х, когда имеет производную в данной точке.
Док-во:
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела, можно записать D у/D х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.
Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:
Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х.
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у'=х'=1, то, согласно формуле dy=ƒ'(х)•∆х, имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу dy=ƒ'(х)•∆х можно записать так: dy=ƒ'(х)dх
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Из формулы следует равенство dy/dx=ƒ'(х).
24. Производная обратной функции.
Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством
Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать
Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как то из (20.7) следуют равенства
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
25. Производная сложной функции.
Если функция u=φ(х) имеет производную u'х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у'х в точке х, которая находится по формуле у'х=у'u-u'х.
По условию
Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем ∆у=у'u•∆u+α*∆u (20.6), где α→0 при ∆u→0.
Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:
этому
∆u=u¢ х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.
Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим
Δy=y¢ u(u'х•∆х+ß*∆х)+а(u'х•∆х+ß•∆х), т.е.∆у=у'u•u'х•∆х+у'u•ß•∆х+u'х•а•∆х+α•ß•∆х.
Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у'х=у'u*u'х.
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у'х=у'u•u'ν•ν'х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.