- •K 2. Теорема Кронекера — Капелли
- •5. Кривая второго порядка
- •6. Поверхность второго порядка
- •Типы поверхностей второго порядка Цилиндрические поверхности
- •Поверхности вращения
- •Гиперболический параболоид («седло»).
- •Центральные поверхности
- •Предел функции по Гейне
- •Предел функции по Коши
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •Теорема
- •14. Предельный переход в неравенствах
- •16. Первый замечательный предел:
- •17. Второй замечательный предел
- •18. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19. Точки разрыва функции и их классификация
- •22. Понятие производной ф-ции. Непрерывность ф-ции, имеющей производную.
- •23. Понятие дифференцируемости функции.
- •24. Производная обратной функции.
- •25. Производная сложной функции.
- •26. Производная параметрически заданной функции.
- •27. Производная произведения двух функций.
- •28. Производная частного двух функций.
- •29. Теорема Роля.
- •30. Теорема Ла-Гранжа.
- •31. Теорема Коши.
- •32. Правило Лопиталя.
- •33. Экстремумы функций одной переменной (точки мах и мин).
- •34. Необходимое и достаточное условие монотонности функции.
- •35. Необходимое, достаточное условие экстремума
- •2. Достаточное условие экстремума.
- •36. Выпуклость, вогнутость функции. Точки экстремума.
- •37. Асимптоты.
- •38. Общая схема исследования функции одной переменной.
- •39. Частные производные и диффер. Функции нескольких переменных.
- •40. Производная от сложной функции нескольких переменных.
- •41. Производная неявно заданной функции.
- •42.Производная по направлению. Градиент.
- •43.Касательная плоскость. Нормаль к поверхности.
- •44. Необходимые, достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных.
5. Кривая второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.
Вид кривой |
Каноническое уравнение |
Инварианты |
Невырожденные кривые ( ) |
||
Эллипс |
|
|
Гипербола |
|
|
Парабола |
|
|
Вырожденные кривые (Δ = 0) |
||
Точка |
|
|
Две пересекающиеся прямые |
|
|
Две параллельные прямые |
|
|
Одна прямая |
x2 = 0 |
|
Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде
6. Поверхность второго порядка
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.!
Типы поверхностей второго порядка Цилиндрические поверхности
Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности S.
Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности. Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.
Эллиптический цилиндр: |
Параболический цилиндр: |
Гиперболический цилиндр: |
|
|
|
|
|
|
Пара совпавших прямых: |
Пара совпавших плоскостей: |
Пара пересекающихся плоскостей: |
|
|
|
Конические поверхности
Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через M0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.
Поверхности вращения
Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом , целиком принадлежит этой поверхности.
В случае, если , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.
Гиперболический параболоид («седло»).
Уравнение гиперболического параболоида:
При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает гиперболу.
При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.
Эллиптический параболоид
Центральные поверхности
Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты можно найти решив систему уравнений:
8. Предел функции
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а, также, описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).
Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.
Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).