Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Пример

Заменяя sin 2x эквивалентной величиной 2x, получаем

14. Предельный переход в неравенствах

     Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

     Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

     Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {x_n}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x_n - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

     Замечание. Элементы сходящейся последовательности {x_n} могут удовлетворять строгому неравенству x_n > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то x_n > 0, однако .

     Следствие 1. Если элементы x_n и y_n сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≤ y_n, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

     В самом деле, элементы последовательности {y_n - x_n} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

 Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

     В самом деле, так как a ≤ x_n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

     Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

     Теорема. Пусть {x_n} и {z_n} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n} удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел a.

     Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {y_n - a} является бесконечно малой. Обозначим через N^* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x_n - a ≤ y_n - a ≤ z_n - a. Отсюда следует, что при n ≥ N^* элементы последовательности {y_n - a} удовлетворяют неравенству

|y_n - a| ≤ max {|x_n - a|, |z_n - a|}.

     Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при n ≥ N₁ |x_n - a| < ε, а при n ≥ N₂ |z_n - a| < ε. Пусть N = max{N^*, N₁, N₂}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |y_n - a| < ε. Итак, последовательность {y_n - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.