3.4 Уравнение линии тока

Рассмотрим случай плоского движения жидкости. Обозначим уравнение линии тока в этом случае через:

(IV.9)

имеем: , а дифференцируя уравнение (IV.9), находим

Таким образом,

в двумерном случае (IV.10)

что и является уравнением линии тока в дифференциальном виде.

При пространственном движении дифференциальные уравнения линии тока записываются как:

или (в развернутом виде)

(IV.10a)

Проинтегрировав уравнения (IV.10), можно получить уравнение линии тока в конечном виде.

Отметим, что для установившегося движения уравнения линии тока являются одновременно уравнениями траекторий.

Оба метода исследования жидкости – и метод Лагранжа, и метод Эйлера – математически связаны между собой и возможен переход от уравнений (IV.2)к уравнениям (IV.3). В практическом применении метод Эйлера более прост, поэтому дальнейшее изложение основано на его применении.

3.5 Уравнение неразрывности

(IV.14)

Это и есть искомое уравнение неразрывности.

В частном случае установившегося движения плотность (как и все остальные параметры движения) от времени не зависит и, следовательно, dp/dt=0

Поэтому уравнение неразрывности получает в этом случае вид:

(IV.15)

И, наконец, для несжимаемой жидкости как при установив­шемся, так и при неустановившемся движении уравнение нераз­рывности имеет вид:

(IV.16)

3.6 Вихревое и безвихревое движение жидкости

С 85 АЛЬТШУЛЬ

В итоге: Безвихревое движение жидкости называют потенциальным или движением с потенциалом скорости.

3.7 Интегрирование уравнений Эйлера для потенциального потока в случае установившегося движения

Силовая функция U:

(1)

Для установившегося движения:

Если действие происходит под влиянием силы тяжести, то:

X и Y =0 следовательно из уравнения 1 остается только:

Следовательно

Проинтегрировав получим

- уравнение называется интеграл Лагранжа. Из которого следует что величина четырехчлена, стоящего в левой части постоянна для некоторого конкретного момента времени во всей области движения жидкости, но может меняться с течением времени.

Если под действием сил тяжести и жидкость несжимаема ( ), то:

(3)

Уравнение 3 идентично по написанию уравнению Бернулли НО есть различие:

Ур Бернулли показывает что сумма трех слагаемых в левой части остается постоянной для элементарной струйки но может меняться для различных струек. И движение может быть как вихревым так и потенциальным.

А уравнение 3 полученное из интеграла Лагранжа справедливо только для потенциального потока, для которого H постоянная не засвистит от координат и следовательно неизменна для всего потока

Для сжимаемых жидкостей:

Где принято:

3.8 Уравнения Навье Стокса

Диф. уравнения движения вязкой жидкости.

4 Режимы течения.

4.1 Режимы течения

В 80-х годах XIX-го столетия работы, связанные с изучением сопротивления движению жидкости при течении в трубах, зашли в тупик. Опыты одних исследователей показали, что сопротивление линейно зависит от скорости. В то же время не менее тщательные и точные опыты французского инженера свидетельствовали, что сопротивление пропорционально квадрату скорости. Возникшее противоречие тормозило развитие инженерной практики и требовало разрешения.

Наблюдения, Рейнольдса, результаты которых были опубликованы в 1883-1884 годах и имели далеко идущие последствия для всей механики жидкости.

Идея опытов отличалась ясностью и предельной простотой.

В стеклянную трубу, скорость движения воды в которой могла регулироваться, Рейнольдс вводил струйки красителя. При малых скоростях струйки двигались параллельно оси трубы и вся картина представлялась неподвижной. При увеличении скорости воды за счет открытия крана картина изменялась, струйка красителя сначала приобретала синусоидальную форму, а дальнейшее увеличение скорости приводило к ее размыву, что свидетельствовало о беспорядочном движении.

Первый режим – спокойный, слоистый без перемешивания частиц был назван ламинарным.

Второй– бурный, хаотичный, приводящий к перемешиванию частиц, получил название турбулентного.