3.2 Уравнение Бернулли для элементарной струйки несжимаемой жидкости

Это и есть уравнение Бернулли, написанное для участка эле­ментарной струйки между сечениями 1 и 2. Его можно пред­ставить также в разностной форме:

Если неограниченно сближать между собой сечения 1 и 2, то уравнение (III.11) можно представить в дифференциальной форме:

Так как сечения I и II взяты произвольно, то уравнение Бернулли можно записать в виде:

(III.13)

Геометрическое истолкование.

Здесь:

Можно видеть, как по длине струйки меняются сла­гаемые этого уравнения, Если сечение расширяется и, следова­тельно, скорость уменьшается, то уменьшается скоростной на­пор, но возрастает сумма (z+p/γ)

Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энер­гии, то каждое слагаемое этого уравнения надо расценивать как некоторую составляющую полной энергии (потенциальную или кинетическую),

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли показывает, что сумма потенциальной энергии (поло­жения я давления) и кинетической энергии есть величина по­стоянная, т. е. одинаковая по пути данной элементарной струй­ки невязкой жидкости. Полная удельная энергия остается неизменной. Таким образом, уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии при движении. идеальной жидкости.

3.3 Два метода исследования движения жидкости Лагранжа и Эйлера

Движение жидкости, если его рассматривать как движение системы неограниченного множества материальных частиц, представляет собой чрезвычайно сложный процесс; частицы жидкости движутся различно, ' каждая по своей траектории, с различными скоростями и ускорениями; изучение этого про­цесса связано с большими трудностями.

Существуют два метода исследования этого движения — ме­тод Лагранжа и метод Эйлера.

В обоих методах жидкость (капельная и газообразная) рас­сматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая дан­ное пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом; вследствие этого рас­сматриваемая схема неприменима к изучению- молекулярных движений.

В методе Лагранжа исследованию подлежит движение от­дельных частиц жидкости.

В методе Эйлера исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, оставляя в стороне вопрос о том, как движется та или иная индивидуальная частица;

Во Многих случаях это оказывается практически вполне достаточным.

В методе Лагранжа положение индивидуальной частицы жидкости описывается законом ее движения, т. е. тремя урав­нениями:

(IV.1)

где:

— координаты частицы и – время

При составлении уравнений, которые характеризовали бы движение различных частиц потока, надо учитывать положение частиц в начальный момент времени t₀, т. е. начальные коорди­наты частиц.

Обозначив эти координаты а, bи с и внеся их в уравнения (IV.I), можно получить систему уравнений в виде:

(IV.2)

В этих уравнениях начальные координаты a, bи смогут рас­сматриваться как независимые переменные. Следовательно, те­кущие координаты х, у и zнекоторой движущейся частицы яв­ляются функциями четырех переменных а, b, с и t. Эти перемен­ные называют переменными Лагранжа.

Выбирая некоторую частицу жидкости, т. е. назначая по собственному усмотрению значения а, bи с, получим текущие координаты х, у и z для выбранной нами частицы (рис. IV.1)

Таким образом, если система (IV.2) известна, то движение потока жидкости вполне определено. Действительно, скорости частицы определятся (как это известно из кинематики точки) как первые производные по времени от координат х, у и z, а ус­корения— как вторые производные по времени, направления же векторов скорости и ускорения находятся по направляющим конусам.

Траектория любой частицы определяется или непосредствен­но из уравнений (IV.1) путем вычисления координат х, у и г данной выбранной частицы для ряда моментов времени, или пу­тем исключения из этих уравнений времени t.

В методе Эйлера рассматривается скорость в каждой точ­ке области, занятой движущейся жидкостью.

При неустановившемся движении все поле скоростей изменя­ется во времени,, и поэтому для одной и той же точки пространства скорость движения жидкости различна в разные моменты времени.

Обозначим через и, v и ω проекции скорости на оси коорди­нат; тогда для неустановившегося движения:

(IV.3)

Обозначим полную скорость в этой главе, где рассматрива­ются неодномерные течения, через V; величина этой скорости равняется, очевидно:

Для установившегося движения:

(IV,3a)

Располагая уравнениями (IV.3) и (IV.3,а), можно опреде­лить скорость в данной точке по величине и направлению.

(IV.8)

Эти уравнения представляют собой выражения для проек­ции ускорении в координатах Эйлера.