Лекции по квантовой механике

Проблемы классической химии. В конце XIX века многим физикам казалось, что все законы физики открыты. Оставалось только уточнить некоторые константы. Все разделы физики: классическая механика, термодинамика, электродинамика, оптика выглядели практически законченными. Однако наиболее вдумчивые физики понимали, что в теоретическом обосновании некоторых явлений классическая физика не может продвинуться вперед. Лорд Кельвин У. Томсон к таким явлениям относил излучение абсолютно черного тела, теоретическое обоснование экспериментальных данных в рамках классической оптики оказалось невозможным.

Многие физики считают, что датой рождения нового раздела физики – квантовой физики является октябрь 1900 года, когда доселе неизвестный Макс Планк при изучении энергии осциллятора – частицы, колеблющейся около положения равновесия (это может любой атом в кристаллической решетке) пришел к выводу: энергия осциллятора изменяется скачкообразно, импульсами. Кл. физика же утверждала, что энергия любой механической системы изменяется только непрерывно.

Далее рассмотрим те физические явления, теоретическое обоснование которых привело к построению современной квантовой механики.

Глава1. Тепловое излучение

Равновесное излучение. Самым распространенным видом электромагнитного излучения является тепловое излучение за счет внутренней энергии нагретых тел. Это излучение является единственным, которое может находиться в равновесии с излучающим телом. Все остальные виды излучения являются неравновесными. Возможность установления равновесия между излучением и веществом обусловлена тем, что интенсивность теплового излучения возрастает с повышением Т. Если по какой-либо причине равновесие будет нарушено, например, тело излучает энергии больше, чем поглощает, то это приведет к понижению Т. Это в свою очередь приведет к уменьшению излучаемой телом энергии. Тогда температура тела будет понижаться до тех пор, пока количество излучаемой энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии W. Если равновесие будет нарушено в другую сторону, т.е. тело излучает энергии меньше, чем поглощает, то температура тела будет возрастать до установления равновесия.

Интенсивность I теплового излучения характеризуется величиной плотности потока энергии, т.е. энергией излучаемой единицей площади поверхности тела за единицу времени, - энергетическая светимость R (Вт/м²). Она является функцией Т. Излучение содержит волны различных частот. Поэтому для характеристики энергии, приходящийся на малый интервал частот dω, вводят понятие спектральной плотности энергетической светимости (испускательную способность) r_ω (Дж/м²):

dR_ω = r_ω dω, (1.1)

где dR_ω – величина потока энергии, испускаемой единицей поверхности тела в интервале частот (ω, ω + dω). Как и энергетическая светимость, спектральная плотность сильно зависит от Т тела. Соотношение (1.1) позволяет найти энергетическую светимость по ее спектральной плотности:

(1.2)

Спектральную плотность r_ω можно выразить и как функцию длины волны излучения r_λ (Вт/м²):

r_ω dω = r_λd_λ. (1.3)

Учитывая зависимость длины волны от частоты

получаем

, (1.4)

где с – скорость света в вакууме. Последнее соотношение позволяет перейти от r_λ к r_ω и наоборот. При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава теплового излучения обычно применяется величина r_ω, а при экспериментальных - r_λ.

Для характеристики излучения (отражения) света в заданном направлении вводят понятие яркости L. Яркость определяют соотношением

(1.5)

где числитель dФ_э – поток энергии, излучаемый элементарной площадкой ΔS, в пределах телесного угла dΩ в направлении полярного угла θ относительно нормали к площадке ΔS. Произведение ΔScosθ дает проекцию площадки ΔS на плоскость, перпендикулярную направлению излучения, которое задается полярным углом θ и азимутальным углом φ в сферической системе координат. Единицей яркости служит кандела на квадратный метр (кд/м²). В общем случае яркость различна для разных направлений: . Источники, яркость которых одинакова по всем направлениям, называются ламбертовскими (подчиняются закону Ламберта) или косинусными (поток, посылаемый элементом поверхности такого источника, пропорционален соsθ). Для таких источников их энергетическая светимость R и яркость L связаны простым соотношением R = πL.

Физики для теоретических построений выделяют так называемое абсолютно черное тело (АЧТ), которое по определению полностью поглощает падающее на него излучение всех частот при любых температурах. Величина спектральной плотности излучения такого тела обозначается как Модель АЧТ обладает наиболее простыми закономерностями спектрального состава равновесного теплового излучения (его называют черным излучением). Это излучение изотропно, т.е. равномерно и одинаково по всем направлением. Кроме того, яркость L излучения АЧТ не зависит от направления, т.е. подчиняется закону Ламберта. АЧТ, как и других идеализированных объектов, в природе не существует. Однако можно создать устройство, очень близкое по своим свойствам к АЧТ. Это замкнутая полость с маленьким отверстием (рис.1).

Рис. 1. Рис.2.

Если внутреннюю стенку такой полости покрыть сажей, то излучение, проникшее внутрь через маленькое отверстие, после многократных отражений полностью поглощается. Это не означает, что из такой полости ничего не выходит. Если стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из отверстия будет выходить излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению АЧТ той же температуры. Разлагая это излучение каким-либо способом в спектр и измеряя I (интенсивности) его различных участков, можно экспериментально найти вид функции для разных температур. На рис. 2 приведены результаты этих опытов. Разные кривые относятся к различным значениям температуры АЧТ (Т₃ > T₂ > T₁). Площадь под любой кривой равна энергетической светимости АЧТ при соответствующей Т. Из этого рисунка следует: 1) энергетическая светимость r_ω АЧТ сильно растет с температурой (закон Стефана – Больцмана) и, во – вторых, максимум спектральной плотности излучения с ростом Т сдвигается в сторону более коротких длин волн (закон смещения Вина).

Рассмотрим эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения распределяется в объеме полости с некоторой объемной плотностью W(T) (Дж/м³). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией w(w, T) (Дж·с/м³), определяемой условием, аналогичным (1.1):

Где dW_ω – объемная плотность энергии, приходящейся на интервал частот (w, w + dw).

Отметим, что равновесная плотность энергии излучения W(T) зависит только от температуры и не зависит от свойств стенки полости. Для этого рассмотрим полость, у которой только часть внутренней поверхности является абсолютно черной. Абсолютно черные стенки поглощали бы весь падающий на них поток энергии Ф_э (Вт) и испускали бы такой же поток энергии. Стенки с поглощающей способностью α (α поглощенный поток энергии) поглотит долю, равную α Ф_э, и отразят поток, равный

(1 - α) Ф_э. Кроме того, они излучат поток α Ф_э, равный поглощенному потоку. В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии, равный (1 - α) Ф_э + α Ф_э = Ф_э, т.е. тот же поток, какой вернули бы излучению АЧ стенки.

Рис. 3.

Очевидно, равновесная плотность энергии излучения W(T) должна быть связана с энергетической светимостью АЧТ R*. Для этого рассмотрим полость с абсолютно черными стенками. При равновесии через каждую точку пространства внутри полости будет проходить в любом направлении изотропный поток излучения. Если бы излучение распространялось в одном направлении, то плотность потока энергии j (Вт/м2) в рассматриваемой точке, как известно, была

равна произведению объемной плотности энергии W на скорость электромагнитной волны с: j = Wc. В силу изотропности излучения в пределах телесного угла dΩ будет течь поток энергии, плотность которого равна

где (см. рис.3). Тогда любой элемент поверхности полости с площадью ΔS посылает в пределах телесного угла dΩ в направлении, образующем с нормалью угол θ, поток энергии dФ_э, равный

(здесь ΔScosθ – «эффективная площадь» элемента полости ΔS в направлении угла θ к нормали). Интегрируя по углу θ от нуля до и по углу φ от нуля до 2π, находим

(1.6)

С другой стороны, поток энергии, испускаемый площадкой ΔS, должен быть равным R^*ΔS. Сравнение с (1.6) дает

Так как это равенство должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения, то

. (1.7)

Эта формула связывает спектральную плотность энергетической светимости АЧТ с равновесным спектральным распределением объемной плотности энергии теплового излучения в полости.