Глава 9. Статистическое изучение взаимосвязи

социально-экономических явлений

9.1. Основные понятия

Все социально-экономические явления взаимосвязаны. Связь между ними носит причинно-следственный характер. Признаки, характеризующие причины и условия связи, называются факторными (х), а те, которые характеризуют последствия связи, - результативными (у). Между признаками х и у возникают разные по природе и характеру связи, в частности функциональные и стохастические. При функциональной связи каждому значению признака х отвечает одно четко определенное значение у. Эта связь проявляется однозначно в каждом конкретном случае. При стохастической связи каждому значению признака х отвечает определенное множество значений у, которые образовывают так называемое условное распределение. Как закон эта связь проявляется только в массе случаев и характеризуется изменением условных распределений у. Если заменить условные распределения средней величиной у, то образуется разновидность стохастической связи – корреляционная. В случае корреляционной связи каждому значению признака х отвечает среднее значение результативного признака у.

Примером стохастической и, в частности, корреляционной связи является распределение проданных на бирже недвижимости однокомнатных квартир по их стоимости у и размеру общей площади х (табл. 9.1).

Таблица 9.1.

Распределение проданных на бирже недвижимости однокомнатных квартир по их стоимости и размеру на 1.01.2002 г.

Размер об-	Количество	квартир	со	стоимостью	тыс. усл.	ед.	Средняя
щей площади, м², х	9-11	11-13	13-15	15-17	17-19	Всего	стоимость квартиры, тыс. усл. ед.
До 25 25-30 30-35 35 и более	26 4 - -	12 9 4 -	2 12 6 -	- 5 10 -	- - 4 6	40 30 24 6	10,8 13,2 15,2 18,0
Всего	30	25	20	15	10	100	13,0

Каждой группе по факторному признаку отвечает свое распределение у, которое отличается от других групп и от безусловного итогового распределения. Следовательно, наблюдается стохастическая связь между признаками.

Условные распределения можно заменить средними значениями результативного признака, которые вычисляют как среднюю арифметическую взвешенную.

Постепенное изменение средних от одной группы к другой свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками.

Характеристикой корреляционной связи является линия регрессии, которую рассматривают в двух моделях - аналитической группировки и регрессионного анализа. В модели аналитической группировки это эмпирическая линия регрессии, которая образовывается из групповых средних значений результативного признака для каждого значения (интервала) .

Эффекты воздействия х на у определяют как отношение приростов средних групповых значений:

, где

.

По данным таблицы 9.1 приросты во всех группах одинаковы – 5 м², а средняя стоимость проданных квартир увеличивается по группам следующим образом:

тыс. усл. ед.;

Следовательно, с увеличением размера общей площади квартир на 1 м² их стоимость в среднем растет соответственно на тыс. усл. ед. и на 0,4 и 0,56.

Оценка плотности связи основывается на правиле сложения дисперсий. В модели аналитической группировки мерой плотности связи выступает отношение межгрупповой дисперсии к общей, которое называется корреляционным отношением:

,

где - общая дисперсия, которая измеряет вариацию результативного признака у, обусловленную воздействием всех возможных факторов;

- межгрупповая дисперсия, которая измеряет вариацию результативного признака у под воздействием только группировочного признака х.

Корреляционное отношение колеблется от нуля до единицы, а если выразить в процентах, то от 0 до 100 %. При отсутствии связи , а при условии функциональной связи Чем больше приближается к единице, тем более плотная связь.

По данным таблицы 9.1 общая дисперсия стоимости проданных квартир будет равна:

В таблице 9.2 приведена аналитическая группировка проданных квартир, которая описывает зависимость их стоимости от общей площади. Там же дан расчет межгрупповой дисперсии.

Таблица 9.2

Аналитическая группировка проданных на бирже квартир

Общая площадь квартиры , м²	Количество квартир	Средняя стоимость квартиры , тыс. усл. ед.
До 25 25 – 30 30 – 35 35 и более	40 30 24 6	10,8 13,2 15,2 18,0	-2,2 0,2 2,2 5,0	193,6 1,2 116,2 150,0
Итого	100	13,0	-	461,0

Корреляционное отношение

следовательно, вариация стоимости проданных квартир на 66 % объясняется вариацией их общей площади и на 34 % - вариацией других факторов, т.е. связь между признаками достаточно плотная.

Однако плотная связь может возникнуть случайно, поэтому необходимо проверить ее тесноту, т.е. доказать неслучайность связи. Проверка тесноты связи – это сравнение фактического значения с его критическим значением для определенного уровня тесноты α и числа степеней свободы и , где - число групп, - объем совокупности. Если  , то связь признается существенной. Критические значения корреляционного отношения для приведены в специальных таблицах.

В нашем примере Из-за отсутствия в таблице критических значений используем ближайшее (), тогда .

Поскольку то связь признается существенной с вероятностью 0,95.

В модели регрессивного анализа характеристикой корреляционной связи является теоретическая линия регрессии, описываемая функцией которая называется уравнением регрессии. В зависимости от характера связи используют:

- линейные уравнения когда с изменением х признак у изменяется более или менее равномерно;

- нелинейные уравнения, когда изменение взаимосвязанных признаков происходит неравномерно (с ускорением, замедлением или с переменным направлением связи), в частности: степенное гиперболическое параболическое и т.п.

Чаще применяют линейные уравнения или приведенные к линейному виду. В линейном уравнении параметр b - коэффициент регрессии указывает, на сколько единиц в среднем изменится у с изменением х на единицу. Он имеет единицу измерения результативного признака. В случае прямой связи b – величина положительная, а при обратной - отрицательная. Параметр a – свободный член уравнения регрессии, т.е. это значение Y при х = 0. Если х не приобретает нулевые значения, то данный параметр имеет только расчетное значение. Параметры определяются методом наименьших квадратов, согласно которому сумма квадратов отклонений эмпирических значений у от Y минимальна: В соответствии с условием минимизации параметры линейного уравнения регрессии вычисляют на основании системы нормальных уравнений:

Отсюда

Для расчета параметров уравнения параболы второго порядка методом наименьших квадратов система нормальных уравнений имеет следующий вид:

Коэффициент регрессии в небольших по объему совокупностях подвержен случайным колебаниям. Поэтому проверяют его существенность с помощью t критерия (Стьюдента):

где b – коэффициент регрессии;

- стандартная погрешность, которую рассчитывают по формуле:

где - соответственно остаточная и факторная дисперсии;

n – объем совокупности.

Характеристикой относительного изменения у вследствие изменения х есть коэффициент эластичности:

который показывает, на сколько процентов в среднем меняется результативный признак с изменением факторного на 1 %.

На основании уравнения регрессии определяют теоретические значения Y, т.е. значение результативного признака при условии воздействия только фактора х при неизменном уровне других факторов.

Отклонения эмпирических значений у от теоретических Y называют остаточными. Они характеризуют воздействие на результативный признак всех других факторов, кроме х. Средний размер этих отклонений определяет остаточная дисперсия

.

Вариацию у, обусловленную воздействием только фактора х, называют факторной дисперсией:

Доля факторной дисперсии в общей характеризует плотность связи и называется коэффициентом детерминации:

Он имеет такой же смысл, интерпретацию и цифровые границы, что и

Плотность связи оценивается также индексом корреляции , однако интерпретируется только Для линейной связи используют линейный коэффициент корреляции (Пирсона) r:

который принимает значения в границах , поэтому характеризует не только плотность, но и направление связи. Положительное значение свидетельствует о прямой связи, а отрицательное – об обратной.

Абсолютное значение r равно индексу корреляции:

Однако для интерпретации r необходимо перейти к уравнению Проверка существенности связи выполняется таким же образом, как и в модели аналитической группировки, путем сравнения и Отличия касаются только определения , в которых m – число параметров уравнения регрессии.

Проверка существенности связи в обеих моделях может определяться также по критерию Фишера, который функционально связан с и

или

поэтому процедура проверки и выводы идентичны.