- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Формула Тейлора
Пусть функция раз дифференцируема в некоторой окрестности точки .
Формула Тейлора –го порядка для функции имеет вид
где — некоторая функция и , называемая остаточным членом.
Известно, что
( форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора) и
( форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора).
Формула Тейлора в виде (24) легко распространяется на функции с любым числом аргументов.
Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
Пусть функция нескольких переменных определена в некоторой окрестности точки .
Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек выполняется неравенство .
Значение функции в этой точке называется локальным максимумом (или локальным минимумом) функции и обозначается (или ).
Если при имеет место неравенство , то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума).
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а максимумы и минимумы — экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума
( Необходимое условие экстремума) Теорема: Если функция нескольких переменных имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.
Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.
В стационарной точке функции существуют частные производные и
Достаточные условия экстремума
Пусть функция имеет непрерывные частные производные до 2–го порядка включительно в некоторой окрестности ее стационарной точки .
Пусть — некоторая точка из этой окрестности. Тогда
— приращение функции, которое она получает при смещении из точки в точку .
По формуле Тейлора имеем
где — расстояние между точками и .
Так как — стационарная точка функции , то .
Допустим, что для всех точек из некоторой окрестности достаточно малой, чтобы в ней выполнялось неравенство . Тогда знаки и одинаковы.
Если для всех точек из окрестности , то и . В этом случае функция имеет минимум в точке .
Если для всех точек из окрестности , то и . В этом случае функция имеет максимум в точке .
Таким образом, достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.
Достаточные условия экстремума функции 2–х переменных
Теорема. Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в стационарной точке (т.е. ):
Тогда:
-
если , то — точка экстремума, причем при — точка минимума, при — точка максимума;
-
если , то не является точкой экстремума;
-
если , то требуется дополнительное исследование.
Доказательство приведено на стр. 163 [1]
Пример:
Найти точки экстремума функции
.
Для поиска стационарных точек решим систему
.
Итак, стационарная точка . При этом . Тогда , следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как ).