- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Производная по направлению
Пусть заданы функция , определенная в некоторой окрестности точки , и — единичный вектор .
Через точку проведем прямую в направлении вектора и обозначим приращение функции, которое она получает при смещении из точки в некоторую точку на этой прямой. Обозначим – приращение функции в направлении (рис.9).
x
a
Рис.9
Производной функции в точке по направлению называется предел отношения к при
Обозначение
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данной точке в данном направлении.
Составим формулу для производной по направлению. Для этого используем параметрические уравнения прямой:
где , и — единичный направляющий вектор прямой. Переменная .
Проекция функции на данную прямую есть функция одной переменной :
причем ). Тогда из определения (3) следует, что
Для трехмерного пространства когда получим,
где — углы, образованные вектором
с осями координат. Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
Находим в точке a по формуле (4). Для этого дифференцируем функцию вида
как сложную функцию от при . Получим
Производная n-мерной функции в точке в направлении единичного вектора вычисляется аналогично. Получим
Таким образом геометрический смысл производной по направлению функции двух переменных следующий :
В
Z=U(x,y)
N
A
M
Рис.10
На рис. 10 изображена поверхность , точка и вектор
Проведем числовую ось через точку параллельно вектору . Начало отсчета на этой оси выберем в точке . Положение любой точки на оси определяется числом . Проведем плоскость через ось параллельно оси . Плоскость пересекает график функции по кривой (АВ), изображенной на рис. 10. Эта кривая является графиком функции
Касательная (MN) к графику функции в точке образует с положительным направлением оси некоторый угол . Получим
Градиент
Пусть функция в точке частные производные по всем переменным.
Тогда вектор
,
или
называется градиентом (вектором–градиентом) функции в точке .
Вектор–градиент (5) обозначается символом или . Символ читается как «намбл». Называется оператор намбла
Для случая трех переменных получим соответственно:
Свойства градиента:
Пусть и функции дифференцируемы в некоторой точке . Тогда в этой точке градиент имеет свойства:
где , - постоянная величина, и – функции n переменных.
Связь градиента с производной по направлению
Производная функции в направлении единичного вектора вычисляется по формуле
Используя определение градиента и формулу для скалярного произведения (в ортонормированном базисе), получим:
Свойство инвариантности градиента
Так как , из формулы (6) следует, что
где — угол между векторами и в данной точке.
Из формулы (7) следует, что наибольшая скорость изменения функции достигается в направлении ее градиента и равна норме (модулю) градиента - . Это доказывает, что вектор не зависит от выбора системы координат (инвариантность).
Сложные функции нескольких переменных
Понятие сложной функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть ее аргументы и в свою очередь являются функциями , и определены в некоторой окрестности точки , причем .
Тогда в окрестности точки определена сложная функция аргумента
Подобным образом определяются сложные функции любого числа переменных.
Например, если и — функции 2–х переменных: и , то функция является сложной функцией двух переменных и :