- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Дифференцирование сложной функции
Теорема 1. Пусть функция дифференцируема в точке , а ее аргументы и дифференцируемы в точке , причем
Тогда сложная функция переменной дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле
Доказательство. Так как функции и дифференцируемы в точке , то их приращения и , соответствующее приращению аргумента , представимы в виде:
где и — бесконечно малые функции при .
Так как функция дифференцируема в точке , где , то ее приращение , соответствующее приращениям аргументов и , представимо в виде
где и — бесконечно малые функции при .
Из дифференцируемости функций в точке следует их непрерывность в этой точке, т.е. при . Поэтому и при .
Подставляя выражения (9) в формулу (10), получаем
Здесь бесконечно малая функция при , имеющая вид:
и ранее показаны
Обозначив в (11) выражение в скобках буквой ( не зависит от ), получаем
т.е. приращение представлено как сумма линейной части приращения и бесконечно малой более высокого порядка, чем . Отсюда следуют дифференцируемость сложной функции в точке и формула (8) для в этой точке. Теорема доказана.
Аналогично формулируются и доказываются теоремы о дифференцируемости сложной функции любого числа переменных. Например:
Теорема 2. Пусть функция дифференцируема в точке и ее аргументы и дифференцируемы в точке , причем .
Тогда сложная функция переменных и дифференцируема в точке и ее частные производные вычисляются по формулам
(Все производные в этих формулах вычисляются выполнены в соответствующих точках.)
Пример:
Найти частные производные функции ,
где тогда в соответствии с (12 и 13) получим:
Инвариантность формы полного дифференциала
Пусть функция , где и — независимые переменные, дифференцируема в некоторой точке . Известно, что ее дифференциал в этой точке определяется формулой
где и — приращения независимых переменных и .
Пусть теперь и — не независимые переменные, а функции и , дифференцируемые в точке . Тогда по теореме 2 сложная функция переменных и дифференцируема в точке . Следовательно, ее дифференциал определяется формулой
Подставляя сюда и , определяемые формулами (12) и (13), и выполняя простые преобразования, получаем
Таким образом, дифференциал функции , когда и являются функциями, совпадает по форме с дифференциалом функции , когда и — независимые переменные. Это свойство называют инвариантностью2 формы первого дифференциала.
Следует иметь в виду, что в случае независимых переменных и их дифференциалы и совпадают с приращениями и . В случае, когда и сами являются функциями, их дифференциалы, вообще говоря, не совпадают с приращениями и , а являются лишь их линейными частями.
Свойство инвариантности формы полного дифференциала распространяется на функции любого числа переменных.
Нормаль и касательная плоскость к поверхности
Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности, — фиксированный вектор.
Обозначим = (M) — угол между векторами и (рис. 11).
Рис.11
Ненулевой вектор
называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если
Точка поверхности называется обыкновенной, если в этой точке выполняются два условия:
-
частные производные непрерывны;
-
.
При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.
Теорема 1. Если — обыкновенная точка поверхности , то вектор
является нормальным к этой поверхности в точке .
Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке.
Канонические уравнения нормали можно представить в виде
Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.
Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:
Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.