ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

Составители:

В.П.Кузнецов

Л.Е.Мякишева

Ю.А.Фадеев

Утверждены на заседании кафедры

Протокол № 4 от 14.января.2011г.

Рекомендованы к печати

учебно-методической комиссией

специальности 150402

Протокол № 4 от 18.01.2011г.

Электронная копия

хранится в библиотеке

главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2011

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Введение: анализ функций нескольких переменных…………….…..3

1. Основные понятия………………………………………………………….3

2. Скалярное поле…………………………………………………………......6

3. Предел функции нескольких переменных…………………………..…9

4. Непрерывность функции нескольких переменных…………………10

Дифференцирование функций нескольких переменных…………….12

1. Частные производные……………………………………………………12

2. Условия дифференцируемости………………………………………….15

3. Производная по направлению………………………………………….18

4. Градиент……………………………………………………………………..21

Сложные функции нескольких переменных…………………………..22

1. Понятия сложной функции………………………………………………22

2. Дифференцирование сложной функции……………………………….23

3. Нормаль и касательная плоскость к поверхности…………………26

Неявные функции…………………………………………………………...29

1. Определение неявной функции и её условие существования…...29

2. Дифференцирование неявной функции……………………………….30

Производные и дифференциалы высших порядков…………………31

1. Частные производные высших порядков…………………………….31

2. Дифференциалы высших порядков…………………………………….32

3. Формула тейлора…………………………………………………………..34

Экстремумы функций нескольких переменных……………………….35

1. Точки максимума и минимума…………………………………………..35

2. Необходимые условия экстремума……………………………………35

3. Достаточные условия экстремума…………………………………….35

4. Условный экстремум……………………………………………………...37

5. Наибольшее и наименьшее значение………………………………….40

Список литературы..........................................................................43

Введение: анализ функций нескольких переменных

Основные понятия

Определение 1. Функцией переменных    называется отображение , т.е. любое правило, которое каждой точке ставит в соответствие действительное число .

называется областью определения функции и записывается .

Функцию переменных записывают так: .

Пространство считаем евклидовым с ортонормированным базисом.

Определение 2. Множество точек , удовлетворяющих неравенству

называется открытым n – мерным шаром радиуса с центром в точке , или – окрестностью точки .

Символом обозначается проколотая окрестность точки , т.е. множество точек , удовлетворяющих неравенствам

.

Определение 3.

1. Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность точки , все точки которой принадлежат данному множеству .

2. Точка называется граничной точкой множества , если любая окрестность точки содержит как точки, принадлежащие данному множеству , так и не принадлежащие этому множеству.

3. Множество всех граничных точек множества называется его границей.

4. Точка называется предельной точкой множества, если любая окрестность точки содержит точки принадлежащие данному множеству, отличные от .

Определение 4.

1. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

2. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

3. Множество называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре.

4. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной произвольной линией, целиком принадлежащей данному множеству.

5. Открытое связное множество называется областью.

Пример: Построить область D изменения переменных и заданную неравенствами:

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение:

1. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, находящейся внутри и на границе прямоугольника, стороны которого лежат на прямых . Этот прямоугольник и есть область изменения переменных . Такая область, в которую входят и ее границы называется замкнутой (рис. 1).

Рис.1

2. В этом примере область D есть совокупность всех точек, находящихся внутри эллипса , так как только эти точки удовлетворяют этому неравенству. Такая область, в которую не входят точки ее границы называется открытой (рис. 2).

Рис.2

3. Здесь область D имеет вид кольца, ограниченного окружностями с центром в начале координат и радиусами Область называется замкнутая, так как включает границу (рис. 3).

Рис. 3

4. Эта область D открытая. Она ограниченна биссектрисой первого координатного угла и осью абсцисс (рис. 4).

Рис. 4

Скалярное поле

Определение 1. Пусть множество (или все ). Говорят, что на X задано скалярное поле , если каждой точке в трехмерном пространстве (или на плоскости)¹ поставлено в соответствие некоторое определенное число, т.е. скалярное поле - это соответствие (X,.

Физические скалярные поля, например, поля температур, плотностей, потенциалов, не зависят от выбора системы координат, а зависят только от точки и времени (если зависят от времени то поля нестационарные).

Если в пространстве (или на плоскости) задана прямоугольная декартова система координат, то скалярное поле есть функция трех (двух) переменных с областью определения .

График см. функции 2–х переменных (плоского скалярного поля) является поверхность.

Другой способ графического представления — с помощью линий уровня.

Определение 2. Линией уровня скалярного поля называется множество точек плоскости, в которых функция принимает значение , т.е. линия уровня определяется уравнением .

Трехмерное скалярное поле можно представить графически с помощью поверхностей уровня.

Определение 3. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства, в которых функция принимает значение , т.е. поверхность уровня определяется уравнением .

Например, линии (поверхности) уровня поля температур называются изотермами (изотермическими поверхностями), поверхности уровня потенциала электростатического поля называются эквипотенциальными.

Примеры:

Построить линии уровня плоских скалярных полей если

1. 

2. 

3. 

Решение: Принимая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

1. Построив эти линии в прямоугольной системе координат получим, прямые параллельные биссектрисе 2-го и 4-го координатных углов (рис. 5).

Рис. 5

2. Построив их в плоскости получим, концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 6).

Рис.6

3. Эти линии представлены параболами с центром в начале координат и симметричные оси (рис. 7).

Рис.7