- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Предел функции нескольких переменных
Пусть функция переменных определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .
Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если
ε > 0) δε > 0) x Oδ() |f(x) − A| < ε
Обозначение:
В пространстве предел функции в точке принято обозначать следующим образом:
Замечания.
-
Определение предела функции переменных совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки теперь не интервал , а мерный открытый шар
(x1 − 1)2 + (x2 − 2)2 + … + (xn − n)2 < δ2.
-
Если — граничная точка области определения функции то определение предела уточняется следующим образом (аналогично понятию одностороннего предела функции одной переменной):
ε >0) δε > 0) (x Oδ()) ∩ D(u) |f(x) − A|<ε.
Теорема 1. Пусть функции переменных и , определены в области и для некоторой точки
и
Тогда
|
Теорема доказывается аналогично, как для функции одной переменной.
Определение 2. Функция называется бесконечно малой в точке , если
Определения и теоремы о бесконечно малых функций одной переменной справедливы для бесконечно малых функций нескольких переменных.
Пример: Найти пределы функций:
Решение: Убедившись, что функции не определены в предельной точке, сделав преобразования, находим:
так как
предел не существует потому, что отношение не имеет предела при произвольном стремлении точки к точке . Так, приближаясь к – началу координат по оси , где , получим Если же приближаться к началу координат по оси , где , то . Таким образом при приближении к по разным направлениям функция имеет разные придельные значения и, следовательно, не имеет придела при
-
Покажем, что функция
не имеет предела при . Действительно, если в качестве линии, по которой точка приближается к началу координат, выбрать прямую , то на этой прямой
.
Если же траекторией движения считать прямую , то
.
Следовательно, предел в точке не существует.
-
Найдем повторные пределы функции
при
,
.
Если же произвести предельные переходы в обратном порядке, получим:
Таким образом, повторные пределы оказались различными (откуда следует, конечно, что функция не имеет в точке предела в обычном смысле).
Непрерывность функции нескольких переменных
Пусть функция переменных определена в некоторой окрестности точки (включая саму точку ).
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке
|
Обозначим приращения аргументов символами
Соответствующее приращение функции
называется полным приращением функции в точке , соответствующая приращению
Условие, определяющее непрерывную функцию в точке аналогично условию – функция определена в точке и
т.е. бесконечно малым приращениям аргументов, соответствует бесконечно малые приращения функции
|
Приращение функции вида
называется частным приращением функции в точке , соответствующая приращению аргумента .
Определение 2. Функция называется непрерывной по переменной в точке , если она определена в точке и
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области;
|
Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , то она непрерывна в этой точке по каждой переменной .
Обратное утверждение неверно.
Теорема 2. Пусть функции и , определены в области и непрерывны в точке .
Тогда функции , · и (при непрерывны в точке
Доказательство вытекает из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.
Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна в области её определения.
Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве:
Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутой ограниченной области, ограничена на этой области.
Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области, имеет наибольшее и наименьшее значение.