Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция дифференцируема в точке . Ее графиком является поверхность

Положим . Тогда точка принадлежит поверхности.

Частные производные функции суть

и в точке :

1. они непрерывны;

2. .

Следовательно, — обыкновенная точка поверхности и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (19), уравнение касательной плоскости имеет вид:

Рис.12

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки в произвольную точку есть (рис. 12). Соответствующее приращение аппликаты есть

Здесь в правой части стоит дифференциал функции в точке . Следовательно, есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции в точке .

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой на графике функции и точкой на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки до точки .

Неявные функции

Понятие и условия существования неявных функций

Функция называется функцией, заданной неявно (или неявной функцией) если она задана уравнением

и прямоугольной областью , если

1) определена в ;

2) уравнение имеет единственное решение .

Иначе говоря, уравнение (20) определяет функцию такую, что .

Аналогично определяют неявные функции любого числа переменных как функции, заданные уравнением и областью.

Условия существования неявной функции

Пусть: функция

1. непрерывна в прямоугольной окрестности

точки , причем ;

2. функция при каждом фиксированном строго монотонна по на интервале .

Тогда существует окрестность точки , в которой уравнение определяет функцию , непрерывную в этой окрестности.

Дифференцирование неявных функций

Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно

Теорема 1. Пусть функция удовлетворяет условиям

1. ;

2. частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки ;

3. .

Тогда

1. уравнение определяет неявно в некоторой окрестности точки единственную непрерывную функцию , удовлетворяющую условию .

2. функция имеет производную, непрерывную в окрестности точки .

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции в окрестности точки следует из теоремы существования, так как:

• условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению ;

• из условия 2 следует непрерывность функции в окрестности точки , а из условия 3 — ее монотонность по при каждом фиксированном из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции , удовлетворяющей условию и непрерывной в окрестности точки .

Производная функции, заданной неявно

Функция в окрестности точки обращает уравнение в тождество, т.е.

Дифференцируя это тождество, получaeм , а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем

Отсюда получаем следующие формулы.

Дифференциал функции, заданной неявно:

Производная функции, заданной неявно:

Теорема 1 обобщается для неявных функций любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям

1. ;

2. частные производные , и непрерывны в некоторой окрестности точки ;

3. .

Тогда

1. уравнение определяет неявно в некоторой окрестности точки единственную непрерывную функцию , удовлетворяющую условию ;

2. функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки , вычисляемые по формулам