7.3. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Благодаря линейности преобразования Лапласа, законы Ома и Кирхгофа можно написать для изображений токов и напряжений

Закон Ома: (7.7)

где

Z(p)=R+Z_L(p)+Z_C(p) - операторное сопротивление цепи;

Z_L(p)=pL -операторное сопротивление индуктивности;

-операторное сопротивление ёмкости;

E(p) -изображение ЭДС;

Li(0) и - расчётные напряжения, характеризующие запасенную энергию в индуктивности и ёмкости к моменту коммутации.

Первый закон Кирхгофа: (7.8)

Второй закон Кирхгофа: (7.9)

Т.к. для изображений справедливы законы Кирхгофа, то для нахождения изображений токов и напряжений и цепи можно использовать все методы расчёта ЭЦ. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами (рис. 7.1), составленными на основании (7.3-7.6)

Рис. 7.1. Операторные схемы замещения элементов ЭЦ.

7.4. Определение оригинала функции по его изображению

Существуют три способа определения оригинала искомой функции по его изображению:

1. с помощью обратного преобразования Лапласа;

2. с помощью таблиц;

3. по теореме разложения.

Если изображение F(p) получено в виде рациональной дроби , то оригинал определяется по теореме разложения. В зависимости от вида корней уравнения F₂(p)=0, существуют следующие виды записи теоремы разложения:

1. корни вещественны и различны

, где р_к – корни функции (7.10)

F₂(p)=0; n -число корней;

.

2. при наличии нулевого корня

(7.11)

Пример: Определить оригинал функции .

;

p₁= -2; p₂=0

F₁(0)=3; F₃(0)=2; F₁(p1)=-2+3=1; F₃’(p1)=2

.

7.5. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом

Расчёт производится в следующем порядке:

1. Определение независимых начальных условий

2. Составление эквивалентной операторной схемы цепи после коммутации

3. С помощью любого из методов расчёта определить изображение искомых величин

4. По полученному изображению определить оригинал искомой функции

Пример: Определить переходной ток в цепи рис. 7.2а операторным методом.

R₁

L

i

R₁

i(-0)

R₁

I(p)

E

E

E/p

pL

R₂

R₂

Li(0)

б)

в)

a)

Рис. 7.2.

Независимые начальные условия определяются по схеме рис. 7.2б.

.

Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 7.2в

По закону Ома

Определим оригинал тока:

1 способ - с помощью таблицы «оригинал-изображение»

По таблице ;

2 способ - по теореме разложения (7.11)

;

F₁(0)=E; F₃(0)=R1; F₃’(p)=L;

,

.

7.6. Операторная передаточная функция

Важную роль в методах анализа и синтеза ЭЦ играет операторная передаточная функция H(p), равная отношению изображения реакции цепи и изображению воздействия при нулевых начальных условиях. Различают следующие виды передаточных функций:

; ; ; .

Операторная передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами

. (7.12)

Степени полиномов числителя и знаменателя зависят от числа реактивных элементов цепи и её схемы.

Устойчивыми называются ЭЦ, у которых при произвольных начальных условиях свободные колебания стремятся к нулю с неограниченным ростом времени, т.е. переходные процессы будут затухающими.

Цепь будет устойчивой, если все полюсы передаточной функции (корни уравнения N(p)=0) располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. Они могут быть вещественными или комплексно- сопряженными. Для этого необходимо, чтобы полином N(p) содержал вещественные коэффициенты, т.е. являлся полиномом Гурвица.

Рис. 7.3. Расположение полюсов устойчивой цепи в случае

а) действительных корней; б) комплексно- сопряженных корней.

Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции, а по нему и реакцию цепи на заданное воздействие.

Пример: Определить u₂(t) цепи рис. 7.4а

Рис. 7.4. Исходная схема а) и её операторная схема замещения б).

;

По таблице определим оригинал u₂(t)