- •2. Магнітне поле в речовині
- •2.1. Намагнічування магнетиків, вектор намагніченості
- •2.2. Опис магнітного поля в магнетиках
- •2.3. Умови на межі поділу двох магнетиків
- •2.4. Магнітний момент атома. Класифікація магнетиків
- •2.5. Природа діамагнетизму
- •2.6. Природа парамагнетизму
- •2.7. Феромагнетики
- •2.7.1.Природа феромагнетизму
- •2.7.2. Намагнічування і перемагнічування феромагнетиків
- •2.8.Антиферомагнетики. Феримагнетики
- •3. Електромагнітна індукція
- •3.1. Явище електромагнітної індукції. Електрорушійна сила індукції
- •3.2. Вихрові струми. Скін–ефект
- •3.3 Явище самоіндукції. Індуктивність
- •3.4. Струми при замиканні та розмиканні кола
- •3.5. Енергія магнітного поля
- •3.6. Взаємна індукція. Взаємна індуктивність
- •4. Електричні коливання
- •4.1. Вільні незатухаючі електричні коливання
- •4.2. Вільні затухаючі електричні коливання
- •4.3. Вимушені електричні коливання
- •5. Електромагнітне поле
- •5.1. Вихрове електричне поле
- •5.2. Струм зміщення
- •5.3. Система рівнянь Максвелла
- •5.4. Хвильове рівняння
- •5.5 Плоска електромагнітна хвиля
- •5.6. Енергія електромагнітної хвилі
- •5.7.Тиск, імпульс і маса електромагнітних хвиль
- •6. Приклади розв’язування задач
- •7. Задачі для самостійного розв’язування
- •Намагнічування магнетиків, вектор намагніченості_ _ _ _ _ _ _ 30
- •Література
5.3. Система рівнянь Максвелла
Відкриття струму зміщення дало змогу Максвеллу в 1860—1866рр. розробити єдину теорію електричних і магнітних явищ – теорію електромагнітного поля. Ця теорія пояснила всі відомі на той час експериментальні факти і передбачила коло нових явищ, факт існування яких підтвердився в подальшому.
Основним висновком теорії Максвелла був висновок про існування електромагнітних хвиль, що поширюються зі швидкістю світла. Теоретичне дослідження цих хвиль привело Максвелла до створення електромагнітної теорії світла.
Основою теорії є система рівнянь Максвелла. У вченні про електромагнетизм ці рівняння відіграють таку саму важливу роль, як закони Ньютона в механіці або основні закони в термодинаміці.
В інтегральній формі система рівнянь Максвелла записується так:
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
У рівнянні (5.4) – потік вектора електричного зміщення через поверхню S, що стягує замкнений контур L; у рівнянні (5.5) Фm – аналогічний потік вектора магнітної індукції магнітного поля; у рівнянні (5.7) q – сумарний електричний заряд у об’ємі V, охопленому замкненою поверхнею S.
До цих чотирьох рівнянь Максвелла слід додати співвідношення, за допомогою яких вводять характеристики середовищ:
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Отже, повна система рівнянь, яка описує електричні і магнітні поля в середовищах, що перебувають у спокої, складається з чотирьох рівнянь (5.4)—(5.7), які називають рівняннями електромагнітного поля, а також системи співвідношень (5.8)—(5.10), які називають матеріальними рівняннями.
Рівняння (5.4) виражає закон, за яким магнітне поле породжується струмами провідності і зміщення, які є двома можливими джерелами магнітного поля.
Рівняння (5.5) виражає закон електромагнітної індукції і вказує на магнітне поле, що змінюється, як на одне з можливих джерел породження вихрового електричного поля.
Рівняння (5.6) відображає експериментальний факт відсутності в природі магнітних зарядів.
Рівняння (5.7) є узагальненням на основі теореми Гаусса закону Кулона і фізично вказує на існування в природі джерел електричного поля у вигляді електричних зарядів, розподілених у просторі з об’ємною густиною ρ.
Система рівнянь Максвелла дає можливість розв’язати будь-яку конкретну задачу макроскопічної електродинаміки.
Із рівнянь (5.4) і (5.5) випливає, що електричне і магнітне поля не можна вважати незалежними: зміна в часі одного з них викликає появу іншого. Тому має смисл лише сукупність цих полів, яка описує єдине електромагнітне поле.
Якщо ж поля стаціонарні (= const і =const), то рівняння Максвелла (5.4)—(5.7) набирають вигляду
.
У цьому випадку електричне і магнітне поля є незалежними одне від одного, що і дає можливість вивчати спочатку постійне електричне поле, а потім незалежно від нього і постійне магнітне поле.
Застосувавши до рівнянь (5.4) і (5.5) теорему Стокса щодо будь-якого вектора а до рівнянь (5.6) і (5.7) теорему Остроградського—Гаусса за довільного вибору площ та об’ємів, по яких беруться інтеграли, отримаємо систему рівнянь Максвелла у диференціальній формі:
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
Спроектувавши рівняння (5.11) та (5.12) на координатні осі, отримаємо замість кожного із векторних рівнянь три скалярних:
(5.15)
(5.16)
Рівняння (5.13) і (5.14) можна записати в скалярній формі
(5.17)
(5.18)
Ввівши векторний диференціальний оператор („набла”), який у декартових координатах має вигляд
де — орти осей x,y,z рівняння (5.11)—(5.14) можна записати так:
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
Введення оператора суттєво спрощує запис багатьох формул і математичних дій з ними, чим скористаємось в подальшому.