4.2. Вільні затухаючі електричні коливання

Будь-який реальний контур має активний електричний опір. Тому запас електромагнітної енергії, що знаходиться в контурі, поступово витрачається на подолання електричного опору нагрівання, внаслідок чого вільні коливання затухають.

Рівняння другого правила Кірхгофа для реального контуру матиме вигляд

(4.11)

Розділивши (4.11) на величину L, позначивши

(4.12)

і прийнявши до уваги, що (4.5), а також, що , отримаємо

(4.13)

По аналогії з механічними затухаючими коливаннями рішенням рівняння (4.13) буде рівняння

(4.14)

де Підставивши значення (4.5) для ω_o і (4.12) для β, знайдемо, що

(4.15)

Таким чином, циклічна частота затухаючих коливань ω є меншою власної частоти ω_o.

Період вільних затухаючих електричних коливань

(4.16)

Частота вільних затухаючих коливань

(4.17)

За умови R=0 формули (4.14)—(4.17) переходять у відповідні формули для коливань в ідеальному контурі.

Розділивши функцію (4.14) на величину ємності С, отримаємо напругу на конденсаторі

(4.18)

Щоб знайти силу струму, продиференціюємо (4.14) за часом:

Умножимо і розділимо це рівняння на ω_o:

.

Введемо кут φ, який задовольнив би умові

.

(Очевидно, що cos²φ+sin²φ=1). Тоді отримаємо:

(4.19)

Оскільки cosφ<0, sinφ>0, значення φ знаходиться в межах від π/2 до π

(π/2< φ <π). Таким чином, при наявності в контурі активного опору сила струму випереджає за фазою напругу на конденсаторі більше, ніж на π/2.

Графік функції (4.14) представлений на рис.4.3. Графіки для напруги і сили струму мають аналогічний вигляд.

З формул (4.14), (4.18) та (4.19) видно, що амплітуда всіх коливань змінюється з часом за рівнянням

(4.20)

Рис.4.3 Затухання коливань характеризують логарифмічним декрементом затухання

. (4.21)

Кількість коливань Ne, після завершення яких амплітуда зменшується в е разів: Ne=1/(βТ).

З формул (4.21), (4.12) та (4.16) знаходимо:

(4.22)

Частота ω, а отже і λ, визначаються параметрами контуру L, C, R. Отже, логарифмічний декремент затухання є характеристикою контуру.

Якщо затухання невелике (β²<<ω_o²), то можна прийняти в (4.15) Тоді

(4.23)

Коливальний контур часто характеризують добротністю Q – величиною, зворотно пропорційною логарифмічному декременту затухання

(4.24)

Із (4.24) випливає, що добротність контуру тим більша, чим більше число коливань встигає звершитись перш ніж амплітуда зменшиться в е разів.

У випадку слабкого затухання

Опір контуру, за наявності якого коливальний процес переходить в аперіодичний, називають критичним. Значення критичного опору R_к визначається на підставі (4.15) за умови, що ω=0, тобто, що

звідки