- •2. Магнітне поле в речовині
- •2.1. Намагнічування магнетиків, вектор намагніченості
- •2.2. Опис магнітного поля в магнетиках
- •2.3. Умови на межі поділу двох магнетиків
- •2.4. Магнітний момент атома. Класифікація магнетиків
- •2.5. Природа діамагнетизму
- •2.6. Природа парамагнетизму
- •2.7. Феромагнетики
- •2.7.1.Природа феромагнетизму
- •2.7.2. Намагнічування і перемагнічування феромагнетиків
- •2.8.Антиферомагнетики. Феримагнетики
- •3. Електромагнітна індукція
- •3.1. Явище електромагнітної індукції. Електрорушійна сила індукції
- •3.2. Вихрові струми. Скін–ефект
- •3.3 Явище самоіндукції. Індуктивність
- •3.4. Струми при замиканні та розмиканні кола
- •3.5. Енергія магнітного поля
- •3.6. Взаємна індукція. Взаємна індуктивність
- •4. Електричні коливання
- •4.1. Вільні незатухаючі електричні коливання
- •4.2. Вільні затухаючі електричні коливання
- •4.3. Вимушені електричні коливання
- •5. Електромагнітне поле
- •5.1. Вихрове електричне поле
- •5.2. Струм зміщення
- •5.3. Система рівнянь Максвелла
- •5.4. Хвильове рівняння
- •5.5 Плоска електромагнітна хвиля
- •5.6. Енергія електромагнітної хвилі
- •5.7.Тиск, імпульс і маса електромагнітних хвиль
- •6. Приклади розв’язування задач
- •7. Задачі для самостійного розв’язування
- •Намагнічування магнетиків, вектор намагніченості_ _ _ _ _ _ _ 30
- •Література
4.3. Вимушені електричні коливання
Електричний опір R будь-якого реального коливального контуру відмінний від нуля. Тому вільні електричні коливання в контурі поступово затухають. Щоб одержати незатухаючі коливання, треба ззовні підводити в коливальний контур енергію, яка компенсує втрати на виділення ленц-джоулевої теплоти. В цьому випадку виникають не вільні, а вимушені електричні коливання. Для їх реалізації потрібна періодична дія на коливальний контур. Це можна здійснити, якщо ввімкнути послідовно з елементами контуру зовнішню змінну напругу U=Umcosωt.
Тоді рівняння (4.11) набирає вигляду
Виконавши незначні перетворення, отримаємо рівняння
(4.25)
Тут β і ωо визначаються за формулами (4.12) та (4.5). Рівняння (4.25) називають диференціальним рівнянням вимушених коливань, яке є неоднорідним рівнянням другого порядку. Загальний розв’язок такого рівняння складається із суми розв’язків відповідного однорідного рівняння (4.13) і частинного розв’язку неоднорідного рівняння (4.25). Розв’язком відповідного однорідного рівняння є затухаючі коливання (4.14). Тому через порівняно короткий час після початку коливань впливом цього доданка на загальний розв’язок рівняння (4.25) можна нехтувати. Частинний розв’язок рівняння (4.25) шукатимемо у вигляді
(4.26)
де qm –амплітуда усталених коливань; φ – зсув фаз між змінами заряду і зовнішньою напругою. Для того, щоб рівняння (4.26) було частинним розв’язком рівняння (4.25), необхідно значення із (4.26) підставити в (4.25). Виконавши математичні перетворення, одержимо
(4.27)
(4.28)
Рівняння (4.27) та (4.28) можна записати по аналогії з подібними для механічних затухаючих коливань.
Підставивши у формули (4.27) і (4.28) ωо2 із (4.5) і 2β із (4.12), одержимо
(4.29)
(4.30)
Отже, частинним розв’язком рівняння (4.25) і рівнянням усталених вимушених коливань є рівняння
(4.31)
Розділивши заряд q на ємність С конденсатора, одержимо закон зміни напруги на конденсаторі
де (4.32)
Диференціюючи за часом рівняння (4.31), одержуємо закон зміни струму в коливальному контурі
.
Амплітуда сили струму виражається формулою
. (4.33)
Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти змушувальної сили (зовнішньої напруги) призводить до того, що за деякої певної частоти амплітуда коливань досягає максимального значення. Це явище називають резонансом, а відповідну частоту ωрез – резонансною частотою.
Дослідивши рівняння (4.27) і (4.37) на екстремум знаходимо, що резонансна частота для заряду q і напруги на конденсаторі Uc визначається так:
(4.34)
Резонансні криві для Uc зображені на рис. 4.4.
При ω→0 резонансні криві сходяться в одній точці з ординатою Ucм=Um – зовнішній напрузі в мить під’єднання конденсатора до зовнішнього джерела. Максимум є тим більшим і гострішим, чим менше значення тобто чим менший активний опір і більша індуктивність контуру.
При малому затуханні (при β2<<ωo2) резонансну частоту для напруги можна прийняти як такою, що дорівнює ωo. Тоді, згідно з (4.32), відношення амплітуди напруги на конденсаторі при резонансі UmсРЕЗ до амплітуди зовнішньої напруги Um буде дорівнювати
(4.35)
Тут Q – добротність контуру. Таким чином, добротність контуру показує у скільки разів напруга на конденсаторі може перевищувати прикладену напругу.
Із (4.33) знаходимо, що амплітуда сили струму досягає максимального значення за умови . Отже, резонансна частота для сили струму співпадає з власною частотою контуру ωo:
(4.36)
Резонансні криві для сили струму зображені на рис4.5.
Рис.4.4 Рис4.5 Рис.4.6
Однією з характеристик резонансної кривої є значення амплітуди у максимумі. Другою важливою характеристикою є ширина резонансної кривої, під якою розуміють різницю циклічних частот для яких енергія коливань є у два рази меншою від енергії частоти, при якій амплітуда змінної величини досягає максимуму. Оскільки енергія коливань пропорційна квадрату амплітуди (W~A2), то очевидно, що ширина резонансної кривої, яка відповідає вимогам W/Wрез=0,5, визначається відношенням амплітуд Am/Amрез=0,7 (див. рис.4.6для резонансної кривої струму).
Можна показати (див. [5]), що ширина резонансної кривої зв’язана з добротністю коливального контуру співвідношенням:
Явище резонансу використовують для виділення із складної напруги потрібну складову. Нехай напруга, прикладена до контуру, дорівнює
Настроївши контур на одну із частот ω1, ω2 ... (тобто підібравши відповідним чином параметри C і L), можна отримати на конденсаторі напругу, що в Q разів перевищує значення даної складової, в той час як напруга, створена на конденсаторі іншими складовими, буде слабкою. Так, наприклад, можна настроїти радіоприймач на бажану довжину хвилі.