- •§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.
- •§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
- •§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).
- •§4. Функция Лагранжа и её свойства.
- •§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
- •§6. Функция Лагранжа простейших систем.
- •§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
- •§8. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
- •1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
- •2.Однородность пространства.
- •3. Изотропность пространства.
- •§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
- •§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- •§11. Одномерный эффективный потенциал.
- •§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.
- •§13. Фазовое пространство.
- •§14. Функция Гамильтона и её свойства.
- •§15. Функция Гамильтона простейших систем.
- •§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
- •§17. Скобки Пуассона и их свойства.
- •§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§19. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§20. Колебания с n степенями свободы.
- •§21. Оператор .
- •§22. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§23. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§24. Градиентная инвариантность.
- •§25*. -Функция.
- •§26. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§27. Закон сохранения заряда.
- •§28. Типы калибровок.
- •§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§30. Теорема Стокса.
- •§31. Функциональные соотношения различных полей
- •§32*. Условия на границе раздела двух сред.
- •§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§34. Приближение линейного тока
- •§35. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§36. Условия квазистационарности поля.
- •§37. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •§38. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
- •§39. Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •§41. Плоская монохроматическая волна.
- •§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§43*. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
§13. Фазовое пространство.
В методе Гамильтона рассмотрим мерное пространство, где по осям откладываются переменные , это и есть фазовое пространство. Точка в нём – фазовая точка. Здесь каждая точка описывает определённое динамическое состояние системы. При движении системы, фазовая точка описывает траекторию, называемую фазовой траекторией.
§14. Функция Гамильтона и её свойства.
Функция Лагранжа задаётся неоднозначно, т.е.
, где
приводят к одним и тем же уравнениям движения.
То же самое справедливо и для функции Гамильтона:
, где
§15. Функция Гамильтона простейших систем.
-
Свободная материальная точка:
Ее потенциальная энергия равна нулю, тогда
Получим для данного случая:
Используем , тогда получим:
-
Система свободных материальных точек:
-
Замкнутая система материальных точек
, где
4. материальных точек во внешнем поле:
5. материальных точек в стационарном внешнем поле:
- зависит только от
Отличие 5-го и 3-го случая заключается в том, что в 5-м случае -составляющая во внешнем поле, она аддитивна - ; если взаимодействие частиц с внешним полем одинаково, то .
6. Замкнутая система двух материальных точек:
в силу однородности и изотропности пространства можем записать:
Задачи
1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Решение. В декартовых координатах x, y, z:
В цилиндрических координатах r, φ, z:
В сферических координатах r, θ, φ:
§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
Рассмотрим полную производную функцию обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени :
Используем уравнения движения Гамильтона :
Здесь мы ввели обозначение:
- скобки Пуассона
Если , то . В этом случае мы можем сформулировать условие того, что функция интеграл движения:
Чтобы была интегралом движения, скобки Пуассона должны обращаться в нуль.
§17. Скобки Пуассона и их свойства.
-
-
-
-
-
-
тождество Якоби
-
Докажем свойство 7:
используем свойства 5 и 6:
используем свойство 1:
используем свойство 3:
Теорема Пуассона:
Пусть и интегралы движения, это означает, что и , тогда согласно свойству 7:
=0
Скобки Пуассона интегралов движения являются интегралом движения. Если мы знаем интегралы движения, то с помощью скобок Пуассона можно получать более удобные формы интегралов движения.
Рассмотрим частные случаи скобок Пуассона:
1.
т.к. и , то
2.
3.
Учитывая , , , получаем:
4.
5.
6.
, , тогда:
7.
8. Здесь - компонента вектора - функции от координат и импульсов.
, здесь - скаляр.
, здесь - скалярная функция координат и времени.
Задачи
1. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.
Ответ: =-pz
=0, =-py
2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.
Ответ: =-Mz, =-Mx , =-My.
3. Показать, что
=0, ,
где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.
Указание. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов r и p только в комбинациях r2,p2, . Поэтому
и аналогично для .
4. Показать, что
=fn,
где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.
Указание. Произвольный вектор f(r, p) может быть написан в виде где - скалярные функции