- •§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.
- •§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
- •§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).
- •§4. Функция Лагранжа и её свойства.
- •§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
- •§6. Функция Лагранжа простейших систем.
- •§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
- •§8. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
- •1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
- •2.Однородность пространства.
- •3. Изотропность пространства.
- •§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
- •§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- •§11. Одномерный эффективный потенциал.
- •§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.
- •§13. Фазовое пространство.
- •§14. Функция Гамильтона и её свойства.
- •§15. Функция Гамильтона простейших систем.
- •§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
- •§17. Скобки Пуассона и их свойства.
- •§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§19. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§20. Колебания с n степенями свободы.
- •§21. Оператор .
- •§22. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§23. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§24. Градиентная инвариантность.
- •§25*. -Функция.
- •§26. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§27. Закон сохранения заряда.
- •§28. Типы калибровок.
- •§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§30. Теорема Стокса.
- •§31. Функциональные соотношения различных полей
- •§32*. Условия на границе раздела двух сред.
- •§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§34. Приближение линейного тока
- •§35. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§36. Условия квазистационарности поля.
- •§37. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •§38. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
- •§39. Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •§41. Плоская монохроматическая волна.
- •§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§43*. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
Дана замкнутая система двух материальных точек (тел). Для замкнутой системы функция Лагранжа явно не зависит от времени, значит, потенциальная энергия является функцией только координат. Потенциальная энергия – энергия взаимодействия между телами.
,
Данная система обладает следующими свойствами:
-
Пространство однородно и изотропно. Это значит, что систему можно транслировать.
Вследствие однородности пространства:
.
Мы можем вращать вектор как хотим, решение от этого не измениться (следствие изотропности). Введём новые координаты:
- описывает положение центра масс (система как целое).
- описывает относительное положение точек.
где .
Таким образом .
,
,
Имеем:
,
- приведённая масса.
- общая масса.
В итоге:
Была функция Лагранжа, а стала . И в первом и во втором случае имеем 6 степеней свободы, т.е. мы ничего не потеряли.
Здесь - циклическая координата. Тогда
, тогда:
- интеграл движения
- закон сохранения импульса
;
Итак, задача двух тел свелась к решению двух задач:
1.Свободная материальная точка массой .
2.Материальная точка массы во внешнем центральном стационарном поле(относительное движение). зависит от модуля , значит поле центральное или сферически-симметричное.
§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- закон взаимодействия.
здесь , ,
- но это равенство имеет место, лишь, если начало координат выбрано в центре поля.
По функции можно показать, что - интеграл движения. Далее будем писать без индекса - .
Так как , то сохраняется модуль и направление вектора. Значит, движение осуществляется в плоскости, то есть имеет две степени свободы. Перейдем к полярным координатам:
- циклическая координата
тогда - закон сохранения для координаты .
-закон сохранения момента импульса.
Роль : - обобщённая координата, - обобщённый для неё импульс, т.е.
Мы свели задачу двух тел к одномерной задаче, т.к. здесь одна обобщённая координата. Далее:
-обобщённый импульс, соответствующий координате
здесь .
§11. Одномерный эффективный потенциал.
Рассмотрим график одномерного эффективного потенциала:
, ,
Финитное движение – движение, происходящее в ограниченной части пространства.
(1) – инфинитное движение (гипербола).
(2) – движение (инфининтное) идет по параболе E=0.
(3) – движение (финитное) идёт по эллиптической траектории, и - точки поворота.
(4) – движение по окружности.
(5) – падение на центр тяготения.
§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.
Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:
Рассмотрим функцию :
перейдем от к
Здесь - функция переменных и . - отсюда находим . Это и есть преобразование Лежандра.
Рассмотрим функцию Лагранжа . От и перейдем к и :
- обобщенный импульс
используя уравнение Лагранжа , получим:
Мы перешли к переменным , , . По определению:
- функция Гамильтона.
Выразим через и . Из получаем . Запишем :
Сравнивая два этих выражения, получаем:
Это уравнения движения Гамильтона, их так же называют каноническими. Их штук. В отличие от дифференциальных уравнений Лагранжа, которые были 2-го порядка, эти дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнений надо задать начальных условий, или динамических переменных в какой-то момент времени: и . и - динамические переменные в методе Гамильтона.
Обратимся к равенству. Величины и называют канонически сопряжёнными величинами (по Гамильтону). Канонические преобразования в методе Гамильтона служат для перехода от одних динамических переменных к другим.
Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.