- •§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.
- •§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
- •§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).
- •§4. Функция Лагранжа и её свойства.
- •§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
- •§6. Функция Лагранжа простейших систем.
- •§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
- •§8. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
- •1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
- •2.Однородность пространства.
- •3. Изотропность пространства.
- •§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
- •§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- •§11. Одномерный эффективный потенциал.
- •§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.
- •§13. Фазовое пространство.
- •§14. Функция Гамильтона и её свойства.
- •§15. Функция Гамильтона простейших систем.
- •§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
- •§17. Скобки Пуассона и их свойства.
- •§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§19. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§20. Колебания с n степенями свободы.
- •§21. Оператор .
- •§22. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§23. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§24. Градиентная инвариантность.
- •§25*. -Функция.
- •§26. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§27. Закон сохранения заряда.
- •§28. Типы калибровок.
- •§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§30. Теорема Стокса.
- •§31. Функциональные соотношения различных полей
- •§32*. Условия на границе раздела двух сред.
- •§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§34. Приближение линейного тока
- •§35. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§36. Условия квазистационарности поля.
- •§37. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •§38. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
- •§39. Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •§41. Плоская монохроматическая волна.
- •§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§43*. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
§36. Условия квазистационарности поля.
1) Мы уже рассмотрели:
2) Характерные параметры линейного проводника характерных параметров поля .
- расстояние, на котором поле существенно меняется за время (если пускаем волну, то - длина волны; если изменение поля гармоническое, то - период).
3) Если длина пробега носителя тока – электрона , то она гораздо меньше параметра поля , т.е..
4) Если носителями тока являются перемещающиеся электроны, то вводим характеристику , где - длина пробега электрона, а - его скорость. Тогда:
3) и 4) позволяют записывать закон Ома без учёта пространственно-временной дисперсии, в простой форме: .
§37. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла в случае квазистационарности:
Здесь учтено, что и .
На два последних уравнения Максвелла подействуем :
- уравнение квазистационарного поля
Аналогично получаем для :
Пусть; , тогда:
где
Размерность
- параметр глубины проникновения поля . Мы получили уравнение Гельмгольца:
Вид решения для зависит от формы области, где ищется решение. Если ищем в полуплоскости, то
- если взять
тогда получим . Это даёт граничное условие
Если взять , то это даст граничное условие , не объясняется ни физически, ни подтверждается экспериментально. Таким образом, следует брать
-параметр:
Для поля аналогично:
- решение для полупространства.
Будем учитывать проникновение полей и только на глубину , т.к. дальше их проникновение мало и его можно не учитывать, хотя оно существует.
§38. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
Нормальные электромагнитные волны в вакууме – это поля, которые могут существовать в отсутствии источников.
Будем рассматривать нормальные волны (т.е. без учёта источников). Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид:
Величины и определяют свойства источников поля. Нормальные волны существуют без источников, тогда здесь уравнения Максвелла:
§39. Волновое уравнение в случае вакуума.
□
Аналогично уравнение получаем для :
□
Здесь будем использовать калибровку поперечных волн (), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда:
§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
Волновое уравнение для :
Где - это различные компоненты векторов .
Волна плоская, т.к. фронт распространения волны представляет собой плоскость.
Имеем систему координат, точку на фронте волны ,
нормаль к фронту волны . Тогда уравнение фронта волны (т.е. плоскости ): . Но т.к. эта плоскость движется, то появляется зависимость от времени.
Если фронт волны- сфера, т.е. волна сферическая, то уравнение фронт а волны и:
Учтём обстоятельство, что форма фронта волны налагает на некоторые ограничения. Введём некоторые вспомогательные координаты:
И будем упрощать оператор □. Можно перейти от () к (). Рассчитаем и , где функция - сложная.
Рассмотрим компоненту:. Тогда:
Следовательно:
Это для случая плоской монохроматической волны. В результате имеем:
Тогда оператор □
Итак, □ , тогда .
где . Следовательно,
Тогда , где и
Выясним, как происходит движение фронтов волны для 1 и для 2 случаев:
1 случай:
,
(*)
Получили, что фронт волны перемещается. Продифференцируем (*) по времени:
где - фазовая скорость. Тогда . Для среды , для вакуума
, тогда . Для вакуума
2 случай:
,
(**)
Продифференцируем (**) по времени:
- фазовая скорость
И мы поучили, что фронт волны распространяется в обе стороны. Если волна не встречает препятствий, то решение - и , иначе решение усложняется.