§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
Динамические переменные в методе Лагранжа – это обобщённые координаты и обобщённые скорости. Всего их 2n, они задают начальное состояние систем.
Интеграл движения – это функция
динамических переменных и времени
,
сохраняющая своё значение при движении
системы (в КП).
- постоянство означает, что полная
производная по времени должна быть
равна нулю:
При n=1 имеем:
,
.
§8. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
Рассмотрим замкнутую систему.
Замкнутая система материальных точек – это система точек, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с точками, не принадлежащими, данной системе.
1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
Это означает, что мы по временной оси
начало отсчёта можем выбрать произвольно.
Допустим, мы вели наблюдения в течение
времени
,
этот отрезок времени можно на оси t
взять в любом месте, процесс не изменится.
Вследствие однородности времени для
замкнутых систем функция Лагранжа явно
не зависит от времени, т.е.
Найдём производную функции Лагранжа по времени:
Подставим второе уравнение в первое:
В силу уравнения движения Лагранжа:
Тогда:
- интеграл движения, но только для
стационарных связей.
В случае многих степеней свободы:
В случае стационарных связей кинетическая энергия есть квадратичная форма скоростей.
-
коэффициенты, имеющие не обязательно
смысл массы.
В силу теоремы Эйлера об однородных функциях:
2.Однородность пространства.
Пространство называется однородным, если уравнения движения (эволюции) системы не зависят от трансляции (переноса как целого) системы в пространстве.
Уравнения
движения замкнутой системы инвариантны
относительно пространственных трансляций
системы как целого. В этом случае
реализуется закон сохранения импульса:
или
,
,
Для замкнутой системы:
Иногда системы, будучи не замкнутыми,
допускают трансляции вдоль некоторых
осей. Например, система в однородном
поле силы тяжести, допускает трансляции,
в плоскости ортогональной вектору
напряжённости этого поля -
- у поверхности Земли.
3. Изотропность пространства.
Уравнения движения замкнутой системы не изменяются при вращении системы как целого относительно любой оси. Другими словами, уравнения движения инвариантны относительно вращения вокруг любой оси. В этом случае реализуется закон сохранения момента импульса:
- момент импульса материальной точки
a.
Для незамкнутой системы существуют поля, допускающие вращение системы как целого относительно некоторых осей.
Пример:
Если
выбрать z вдоль
,
то систему можно вращать как целое
вокруг z, в данном поле
будет сохраняться проекция момента
импульса на направление поля.
Рассмотрим теперь центральное поле. Например, гравитационное поле Земли (сферически симметричное).
Центр Земли – это центр поля тяготения. Вращение вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, не меняет уравнения движения.