- •§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.
- •§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
- •§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).
- •§4. Функция Лагранжа и её свойства.
- •§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
- •§6. Функция Лагранжа простейших систем.
- •§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
- •§8. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
- •1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
- •2.Однородность пространства.
- •3. Изотропность пространства.
- •§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
- •§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- •§11. Одномерный эффективный потенциал.
- •§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.
- •§13. Фазовое пространство.
- •§14. Функция Гамильтона и её свойства.
- •§15. Функция Гамильтона простейших систем.
- •§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
- •§17. Скобки Пуассона и их свойства.
- •§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§19. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§20. Колебания с n степенями свободы.
- •§21. Оператор .
- •§22. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§23. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§24. Градиентная инвариантность.
- •§25*. -Функция.
- •§26. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§27. Закон сохранения заряда.
- •§28. Типы калибровок.
- •§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§30. Теорема Стокса.
- •§31. Функциональные соотношения различных полей
- •§32*. Условия на границе раздела двух сред.
- •§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§34. Приближение линейного тока
- •§35. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§36. Условия квазистационарности поля.
- •§37. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •§38. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
- •§39. Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •§41. Плоская монохроматическая волна.
- •§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§43*. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).
Пусть - вариация координаты (произвольное изменение координаты в данный момент времени). Будем рассматривать бесконечно малые , следовательно, 2-я возможная траектория будет в непосредственной близости от 1-ой. Возможная траектория – траектория, которая может получиться при данных взаимодействиях. Возможных траекторий много, реальных – одна. В начальной и конечной точке траектории вариации координат равны нулю:
, т.е. и коммутативны:
Будем искать первую вариацию (линейную вариацию по вариацию аргумента).
Введём функционал:
- функция Лагранжа, функция динамических переменных и времени.
Принцип наименьшего действия:
Из всех возможных траекторий, между данными точками, механической системы в конфигурационном пространстве реализуется та, для которой первая вариация действия равна нулю:
Найдём :
Тогда:
Первое слагаемое в правой части данного выражения равно нулю, тогда остаётся:
Координаты независимы, вариации этих координат так же независимы. Условие независимости означает, что все коэффициенты при равны нулю. В результате получаем:
,
Мы получили уравнения движения Лагранжа. Это дифференциальные уравнения второго порядка, что бы их решить, нужны начальные условия: и . В результате получим закон движения
§4. Функция Лагранжа и её свойства.
Каждой системе ставится в соответствие функция динамических переменных , называемая функцией Лагранжа.
Свойства:
-
Уравнение движения Лагранжа инвариантно относительно следующего преобразования:
Надо доказать, что .
Рассмотрим вариацию :
(вариации координат на концах траектории равны нулю).
Итак, вывод: функция Лагранжа может быть задана с точностью до полной производной по времени функции обобщённых координат и времени. Это не влияет на уравнения движения, а следовательно на решение задачи.
2. Энергии(T и U)
a) (N- число материальных точек)
Т – кинетическая энергия, величина аддитивная.
б)
U – потенциальная энергия не аддитивна.
(U – аддитивна, когда нет взаимодействия между точками системы).
§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
Знак суммы не пишется при дважды встречающемся индексе.
,
тогда:
- для стационарных связей
- однородная функция своих переменных , у неё второй порядок, т.е.:
Соотношение Эйлера для однородной функции:
§6. Функция Лагранжа простейших систем.
Рассмотрим системы с одной степенью свободы.
-
Плоский математический маятник (Рис.3).
- уравнение связи.
Число степеней свободы равно единице (см. §1).
- кинетическая энергия.
U – потенциальная энергия.
U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.
Имеем :
Рассмотрим случай малых колебаний:
, φ – измеряется в радианах.
L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:
Функция Лагранжа:
Уравнение движения:
Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:
1)
2)
-
Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).
k – упругость пружины,
l0 – длина пружины в недеформированном состоянии,
l – длина пружины в деформированном состоянии.
По закону Гука (для малых деформаций):
- малые деформации.
По второму закону Ньютона:
,
, , где .
Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:
1)
2)
3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)
(По закону Гука)
В данном случае: - не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.
Задачи
1 . Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника , находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).
Решение. в качестве координат берём углы φ1 и φ2, которые нити l1 и l2 образуют с вертикалью. Тогда для точки m1 имеем:
чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x2, y2 (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ1 и φ2:
после этого получим:
окончательно:
2 . Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m2, точка которого (с массой m1 в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.
Решение. Вводя координату x точки m1 и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим: