- •§1. Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.
- •§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
- •§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия).
- •§4. Функция Лагранжа и её свойства.
- •§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
- •§6. Функция Лагранжа простейших систем.
- •§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
- •§8. Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
- •1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
- •2.Однородность пространства.
- •3. Изотропность пространства.
- •§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
- •§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- •§11. Одномерный эффективный потенциал.
- •§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.
- •§13. Фазовое пространство.
- •§14. Функция Гамильтона и её свойства.
- •§15. Функция Гамильтона простейших систем.
- •§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
- •§17. Скобки Пуассона и их свойства.
- •§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§19. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§20. Колебания с n степенями свободы.
- •§21. Оператор .
- •§22. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§23. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§24. Градиентная инвариантность.
- •§25*. -Функция.
- •§26. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§27. Закон сохранения заряда.
- •§28. Типы калибровок.
- •§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§30. Теорема Стокса.
- •§31. Функциональные соотношения различных полей
- •§32*. Условия на границе раздела двух сред.
- •§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§34. Приближение линейного тока
- •§35. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§36. Условия квазистационарности поля.
- •§37. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •§38. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
- •§39. Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •§41. Плоская монохроматическая волна.
- •§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§43*. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
§41. Плоская монохроматическая волна.
Если волна монохроматическая, то - волна одной частоты .
Введём параметр - волновое число.
Введём волновой вектор , направленный по нормали к фронту волны. Тогда:
- плоская монохроматическая волна, идущая вдоль вектора .
§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
Уравнения Максвелла в случае электромагнитных волн в вакууме имеют вид:
Т.к. поля и имеют зависимость ~, то
где , тогда:
В результате для плоских монохроматических волн операторы:
Тогда уравнения Максвелла для плоских монохроматических волн имеют вид:
вводим единичный вектор , тогда
Тогда векторы создают правовинтовую систему. Здесь - вектор нормали к фронту распространения волны.
§43*. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
Разложим :
где , а - амплитуда данной монохроматической волны, присутствующей в электромагнитном поле, т.е. это вес волны.
§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
Калибровка Лоренца в случае вакуума:
В случае однородной изотропной среды калибровка Лоренца примет вид:
Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
-
1. Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).
2. Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m2, точка которого (с массой m1 в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.
3. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
4. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.
5. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.
6. Показать, что
=0, ,
где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.
7. Показать, что
=fn,
где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.
8. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения x0, v0 координаты и скорости.
9. Найти частоту колебаний точки с массой m, способной двигаться по прямой и прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён в точке А на расстоянии l от прямой. Пружина, имея длину l, натянута с силой F.
10. Найти частоту колебаний изображенного на рисунке 4 маятника, точка подвеса которого (с массой m1 в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении.
11. Определить малые колебания двойного плоского маятника.
12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
13. Вычислить где p – постоянный вектор.
14. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы:
если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A – постоянный вектор.
15. В равномерно заряженном шаре с объемной плотностью заряда имеется шарообразная полость, центр которой расположен на расстоянии а от центра шара. Найти напряженность электрического поля внутри полости, внутри шара и снаружи шара. Радиусы шара и полости равны соответственно R и .
16. Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара . Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.
17. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.
18. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону :
19. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.
20. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностью j. Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.
21. Показать, что постоянное однородное магнитное поле B можно описывать векторным потенциалом А=.