1
Матрица – совокупность строк и столбцов, на пересечении которых расположены её элементы. Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.
Виды матриц:
Квадратная: Если её размеры n на n.
Диагональная: Если матрица квадратная и все элементы, кроме главной диагонали равны нулю.
Единичная: Диагональная, все элементы главной диагонали равны единице.
Нулевая: Если все элементы равны нулю.
Треугольная: если элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю. Если выше, то нижнетреугольная, если ниже – то верхнетреугольная.
Операции над матрицами:
Транспонирование:
,
для всех
i,
j
(или, проще говоря, строки становятся
столбцами).
Сложение: Две матрицы одинакового размера можно складывать. В итоге получится новая матрица такого же размера, у которой Сij = Aij + Bij.
Умножение на число: Матрицу можно умножить на число. Тогда Сij = a * Aij.
Умножение
матрицы на матрицу:
Произведение матрицы A
размера m
на n
и матрицы B
размером n
на p
называется матрица C
размером m
на p,
у которой
2
Перестановкой множества называют любой упорядоченный набор из n элементов этого множества, среди которых нет одинаковых(интернет).
Всевозможные расположения n различных элементов, отличных друг от друга только порядком, называют перестановками из n элементов(лекции).
Например, есть множество {1,2,3,4,5}. Перестановками являются: {1,2} {3,4,5} {5,1}. Не являются: {1,2,3,4,6} {1,2,3,1}. Начальной перестановкой является перестановка {1,2,3,4,5}
Теорема о количестве перестановок: Существует ровно n! перестановок множества из n элементов.
Доказательство: По методу индукции. Пусть есть множество {1}. Тогда возможное количество перестановок одно – {1}.
Пусть существует ровно (n-1)! перестановок множества из (n-1) элементов. Добавим этому множеству еще один элемент n. Он может стоять на любом месте в исходном множестве. Поставим его на первое место. Исходя из предположения, получим (n-1)! перестановок. Поставим на 2,3..n место, получим n! перестановок. Что и требовалось доказать.
Говорят, что пара чисел (i, j) образуют инверсию, если i > j, но i стоит левее j. Например, в перестановке {5,4,6,7} образуют инверсию {5,4}.
Перестановка называется четной, если количество её инверсий четно. А нечетной, если количество перестановок нечетно.
Подстановка – перестановка местами элементов множества, при этом должны получится все элементы исходного множества и все по одному разу. Если переставляются только два элемента, то такую подстановку называют транспозицией.
Примеры:
– подстановка,
– транспозиция.
3
Определитель
квадратной матрицы А n-ого
порядка
называется алгебраическое сумма
всевозможных произведений элементов,
взятых по одному из каждого столбца и
строки матрицы А. Для определения знака,
с каким произведения входит в детерминант,
надо в его индексах подставить подстановку
из которой берутся элементы произведения
со знаком плюс, если количество подстановок
четное и минус, если количество
нечетное(лекции).
Определитель 2-го порядка:
.
Определитель 3-го порядка:
.
4
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. Доказательство: каждый член исходного определителя будет в разных строках/столбцах после транспонирования.
5
Каждая перестановка строк в определителе меняет знак определителя.
Доказательство: если произведение является членом исходного детерминанта, то все его множители и в новом детерминанте окажутся в разных строках/столбцах.
6
Умножение строки на число, умножение строки определителя на число и её добавления к другой строке не изменяют значение определителя.
Доказательство: вытекает из следующих свойств: определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю и
7